[Bài toán] Phương trình hàm trên N

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn : 

$$\{\begin{array}{c}f(2)=2\\ f(mn)=f(m).f(n)\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\\ f(m)<f(n),\forall m<n\end{array}$$

Lời giải :

Ta có $f(2)=f(2.1)=f(2).f(1)\Rightarrow f(1)=1$.

Ta có $2=f(2)<f(3)<f(4)=f(2).f(2)=4\Rightarrow f(3)=3$

Như vậy ta có $f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $f(n)=n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Gỉa sử khẳng định trên đúng đến $k\ge 3$, tức là $f\left(t\right)=t,\forall t\in \mathbb{Z},3\le t\le k$. Ta cần chứng minh $f\left(k+1\right)=k+1$

Nếu $k$ lẻ thì $k+1$ chẵn, ta có $f(k+1)=f\left(2\right).f\left(\frac{k+1}{2}\right)=2.\frac{k+1}{2}=k+1$

Nếu $k$ chẵn thì $f(k+1)<f\left(k+2\right)=f\left(2\right).f\left(\frac{k+2}{2}\right)=2.\frac{k+2}{2}=k+2$. Mặt khác dễ thấy $f(k+1)>f(k)=k$. Tức là $k<f(k+1)<k+2$. Vậy phải có $f(k+1)=k+1$

Chú ý vì $\frac{k+1}{2}\le k,\frac{k+2}{2}\le k$ nên ta mới dùng được giả thiết quy nạp.

Theo nguyên lí quy nạp, mệnh đề $f(n)=n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ là đúng. Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn đề bài.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$