[Bài toán] Phương trình hàm

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\setminus \left\{0,1\right\}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f\left(x\right)+f\left(\frac{x-1}{x}\right)=1+x$$

Lời giải :

Đặt $x_1=\frac{x-1}{x}\Rightarrow f(x)+f(x_1)=1+x$

Đặt $x_2=\frac{x_1-1}{x_1}=\frac{1}{1-x}\Rightarrow f(x_1)+f(x_2)=1+x_1$

Đặt $x_3=\frac{x_2-1}{x_2}=x\Rightarrow f(x_2)+f(x_3)=1+x_2\iff f(x_2)+f(x)=1+x_2$

Như vậy ta có hệ $\{\begin{array}{c}f(x)+f(x_1)=1+x\\ f(x_1)+f(x_2)=1+x_1\\ f(x_2)+f(x)=1+x_2\end{array}$

Giải hệ này ta tìm được $f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\right)$. Đó là hàm số cần tìm.