Các phương pháp giải phương trình

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.

1. Phương pháp giải phương trình bậc ba.

Xét phương trình bậc ba dạng tổng quát $a{y}^3+b{y}^2+cy=d=0(a\ne 0)(1)$ bao giờ cũng đưa về được phương trình bậc ba dạng chính tắc $x^3+px+q=0(2)$ bằng cách chia hai vế của $(1)$ cho $a$ để được $y^3+\frac{b}{a}{y}^2+\frac{c}{a}y+\frac{d}{a}=0$ và đặt $y=x-\frac{b}{3a}$ thì ta sẽ thu được $(2)$.

Xét biểu thức ${\Delta }^{\prime }=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$.

a) Nếu ${\Delta }^{\prime }\ge 0$ thì phương trình có duy nhất một nghiệm thực $x=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\Delta }}$

b) Nếu ${\Delta }^{\prime }<0$ thì phương trình sẽ có ba nghiệm thực. Trong trường hợp này phương trình giải được bằng phép thế lượng giác. Xem tại đây.

2. Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn dạng đặc biệt.

a) Phương trình trùng phương : $a{x}^4+b{x}^2+c=0(a\ne 0)$. 

Bằng cách đặt $y=x^2\ge 0$ ta được phương trình bậc hai $a{y}^2+by+c=0$

b) Phương trình dạng $(x-a{)}^4+(x-b{)}^4=c$. 

Bằng cách đặt $x=y+\frac{a+b}{2}$ ta thu được phương trình trùng phương theo ẩn $y$.

c) Phương trình dạng $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m$ với $a+d=b+c$.

Đưa phương trình về dạng $[x^2+(a+d)x+ad][x^2+(b+c)x+bc]=m$ và đặt $y=x^2+(a+d)x=x^2+(b+c)x$ thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn $y$.

d) Phương trình dạng $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m{x}^2$ với $ad=bc$.

Đưa phương trình về dạng $[x^2+(a+d)x+ad][x^2+(b+c)x+bc]=m{x}^2$

Bằng cách chia hai vế cho $x^2$ và đặt $y=x+\frac{ad}{x}=x+\frac{bc}{x}$ ta thu được phương trình bậc hai theo $y$

e) Phương trình đối xứng bậc bốn, phương trình hệ số phản hồi.

Xét phương trình bậc bốn $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$ với $a\ne 0$.

Phương trình trên được gọi là phương trình hệ số phản hồi nếu $\frac{e}{a}={\left(\frac{d}{b}\right)}^2$.

Khi đó bằng cách chia hai vế cho $x^2$ và đặt ẩn phụ $y=x+\frac{d}{bx}$ thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn $y$

Trường hợp đặc biệt khi $a=e,b=d$ thì phương trình được gọi là phương trình đối xứng và khi $a=e,b=-d$ thì phương trình được gọi là phương trình nửa đối xứng.

3. Phương pháp sử dụng một số hằng đẳng thức.

Ví dụ : Giải phương trình $(x-2{)}^3+(2x-4{)}^3+(7-3x{)}^3=0$

Lời giải : 

Đặt $a=x-2,b=2x-4,c=7-3x$ thì $a+b+c=1$.

Để ý hằng đẳng thức $(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\iff (a+b)(b+c)(c+a)=0\iff (3x-6)(3-x)(5-2x)=0\iff x\in \left\{2,3,5/2\right\}$

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{2,3,5/2\right\}$

4. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ : Giải phương trình $\left(13-4x\right)\sqrt{2x-3}+(4x-3)\sqrt{5-2x}=2+8\sqrt{16x-4x^2-15}$

Lời giải :

Điều kiện $\frac{3}{2}\le x\le \frac{5}{2}$.

Đặt $\sqrt{2x-3}=a\ge 0,\sqrt{5-2x}=b\ge 0$ thì $13-4x=3+2b^2,4x-3=3+2a^2,\sqrt{16x-4x^2-15}=ab$

Từ đó ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{ccc}(3+2a^2)b+(3+2b^2)a=2+8ab& & \\ a^2+b^2=2& & \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2ab(a+b)+3(a+b)=2+8ab\\ (a+b{)}^2-2ab=1\end{array}$

Đặt $S=x+y,P=xy$ ta được $\{\begin{array}{c}2SP+3S-8P=2\\ S^2-2P=2\end{array}\iff S=2,P=1\iff a=b=1\iff x=2$

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{2\right\}$

5. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác)

Xem tại đây

6. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

Ví dụ : Giải phương trình $x^3-x-3=2\sqrt[3]{6x-3x^2}$

Lời giải :

Đặt $\sqrt[3]{6x-3x^2}=t\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^3-x-3=2t\\ -3x^2+6x=t^3\end{array}$

Cộng vế theo vế hai phương trình này : $x^3-3x^2+5x-3=t^3+2t\iff (x-1{)}^3+2(x-1)=t^3+2t$

Xét hàm số $f(x)=x^3+2x$, dễ thấy hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f(x-1)=f(t)\iff x-1=t\iff (x-1{)}^3=6x-3x^2\iff x^3-3x-1=0\iff x\in \left\{2cos\frac{\pi }{9},2cos\frac{5\pi }{9},2cos\frac{7\pi }{9}\right\}$

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{2cos\frac{\pi }{9},2cos\frac{5\pi }{9},2cos\frac{7\pi }{9}\right\}$

7. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

Ví dụ : Giải phương trình $8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}$

Lời giải :

Điều kiện $x>0$.

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có $8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=8x^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}}\ge 5.\sqrt[5]{\frac{1}{32}}=\frac{5}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $8x^2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}}\iff x=\frac{1}{4}$

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{1}{4}\right\}$

8. Phương pháp dùng lượng liên hợp.

Phương pháp này dùng được cho những phương trình chứa căn thức và khi biết trước nghiệm của phương trình.

Một số hằng đẳng thức dùng để trục căn thức :

$$\sqrt{x}\pm \sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}\mp \sqrt{y}}$$

$$\sqrt[3]{x}\pm \sqrt[3]{y}=\frac{x\pm y}{\sqrt[3]{x^2}\mp \sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}$$

$\sqrt[4]{y}\pm \sqrt[4]{y}$$=\frac{x-y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt[4]{x}\mp \sqrt[4]{y}\right)}$

Ví dụ : Giải phương trình $3\sqrt[3]{x^2}+\sqrt{x^2+18}-2=\sqrt{x^2+15}$

Lời giải :

Nhẩm được  nghiệm của phương trình là $x=\pm 1$ nên ta dùng lượng liên hợp tạo nhân tử $x^2-1$.

Phương trình tương đương :

$3(\sqrt[3]{x^2}-1)+(\sqrt{x^2+18}-3)$$=(\sqrt{x^2+15}-4)$$\iff \frac{3(x^2-1)}{\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1}+\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3}$$=\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+15}+4}$$\iff (x^2-1)\left(\frac{3}{\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+15}+4}\right)$$=0$

Mà dễ thấy rằng $\frac{3}{\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+8}+3}>\frac{1}{\sqrt{x^2+15}+4}$

Nên $x^2=1$.

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\pm 1\right\}$

 

Tham khảo : 

Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope.