Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 tỉnh Quảng Nam) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^3+3x^2-13x-15=\dfrac{8}{y^3}-\dfrac{8}{y}\\ y^2+4=5y^2(x^2+2x+2) \end{matrix}\right.$ Lời giải : Điều kiện $y\neq 0$ Hệ tương đương : $\left\{\begin{matrix} (x+1)^3-16(x+1)=\left ( \dfrac{2}{y} \right )^3-4.\dfrac{2}{y}\\ \left ( \dfrac{2}{y} \right )^2=5(x+1)^2+4 \end{matrix}\right.$ Đặt $a=x+1,b=\dfrac{2}{y}$ ta được $\left\{\begin{matrix} a^3-16a=b^3-4b\;\;\;(1)\\ 5a^2+4=b^2\;\;\;(2) \end{matrix}\right.$ Ta cần đưa $(1)$ về dạng đẳng cấp bậc ba. Từ $(2)$ ta có $4=b^2-5a^2$ Do đó \[\left ( 1 \right )\Leftrightarrow a^3-b^3=4(4a-b)=(b^2-5a^2)(4a-b)\Leftrightarrow 21a^3-5a^2b-4ab^2=0\Leftrightarrow a(7a-4b)(3a+b)=0\Leftrightarrow a=0\;\vee \;a=\dfrac{4b}{7}\;\vee \;a=\dfrac{-b}{3}\] Nếu $a=0$ thì từ $(2)$ ta có $b=\pm 1$. Dẫn đến $\left ( x,y \right )=(-1,-1),(-1,1)$ Nếu $a=\dfrac{4b}{7}$ thì từ $(2)$ ta có $\dfrac{31b^2}{49}+4=0$ (loại) Nếu $a=\dfrac{-b}{3}$ thì từ $(2)$ ta có $b=\pm 3$. Dẫn đến $\left ( x,y \right )=\left ( -2,\dfrac{2}{3} \right ),\left ( 0,\dfrac{-2}{3} \right )$ Kết luận : Nghiệm của hệ là $\left ( x,y \right )=\left ( -2,\dfrac{2}{3} \right ),\left ( 0,\dfrac{-2}{3} \right ),(-1,1),(-1,-1)$

[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 tỉnh Quảng Nam) Giải hệ phương trình $⎩ ⎨ ⎧ x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15 = \frac{8}{y ^{3}} - \frac{8}{y} y^{2} + 4 = 5 y^{2} (x^{2} + 2 x + 2)$

Lời giải :

Điều kiện $y \neq = 0$

Hệ tương đương : $⎩ ⎨ ⎧ (x + 1)^{3} - 16 (x + 1) = (\frac{2}{y})^{3} - 4. \frac{2}{y} (\frac{2}{y})^{2} = 5 (x + 1)^{2} + 4$

Đặt $a = x + 1, b = \frac{2}{y}$ ta được ${a^{3} - 16 a = b^{3} - 4 b (1) 5 a^{2} + 4 = b^{2} (2)$

Ta cần đưa $(1)$ về dạng đẳng cấp bậc ba. Từ $(2)$ ta có $4 = b^{2} - 5 a^{2}$

Do đó

$(1) \Leftrightarrow a^{3} - b^{3} = 4 (4 a - b) = (b^{2} - 5 a^{2}) (4 a - b) \Leftrightarrow 21 a^{3} - 5 a^{2} b - 4 a b^{2} = 0 \Leftrightarrow a (7 a - 4 b) (3 a + b) = 0 \Leftrightarrow a = 0 \lor a = \frac{4 b}{7} \lor a = \frac{- b}{3}$

Nếu $a = 0$ thì từ $(2)$ ta có $b = \pm 1$ . Dẫn đến $(x, y) = (- 1, - 1), (- 1, 1)$

Nếu $a = \frac{4 b}{7}$ thì từ $(2)$ ta có $\frac{31 b ^{2}}{49} + 4 = 0$ (loại)

Nếu $a = \frac{- b}{3}$ thì từ $(2)$ ta có $b = \pm 3$ . Dẫn đến $(x, y) = (- 2, \frac{2}{3}), (0, \frac{- 2}{3})$

Kết luận : Nghiệm của hệ là $(x, y) = (- 2, \frac{2}{3}), (0, \frac{- 2}{3}), (- 1, 1), (- 1, - 1)$

[Bài toán] Hệ phương trình

Đề bài

Mô tả