[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 tỉnh An Giang) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{y}^2-5\sqrt{x}+5=0\\ \sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3}-\frac{1}{5}{y}^2+y\end{array}$

Lời giải :

Điều kiện $x\ge 0$

Phương trình thứ hai viết thành : $5\sqrt{y^2+2y+3}-y^2+5y=5\sqrt{x+2}$

Cộng vế theo vế với phương trình đầu : $5\sqrt{y^2+2y+3}+5y-5\sqrt{x}+5=5\sqrt{x+2}\iff (y+1)+\sqrt{(y+1{)}^2+2}=\sqrt{x}+\sqrt{(\sqrt{x}{)}^2+2}$

Xét hàm số $f(t)=t+\sqrt{t^2+2}$ có $f^{\prime }(t)=\frac{\sqrt{t^2+2}+t}{\sqrt{t^2+2}}>0$ nên $f(t)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$

Chính vì vậy $f\left(y+1\right)=f\left(\sqrt{x}\right)\iff y+1=\sqrt{x}$

Thay vào phương trình đầu ta được : $y^2-5\left(y+1\right)+5=0\iff y\in \left\{0,5\right\}$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\left(x,y\right)=(1,0),(5,36)$