Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn tỉnh Ninh Thuận) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $x^4+y^2$ chia hết cho $7^x-3^y$. Lời giải : Dễ thấy $7^x-3^y$ chẵn nên $x^4+y^2$ chẵn, do đó $x,y$ cùng tính chẵn lẻ. Nếu $x,y$ cùng lẻ thì $x^{4}+y^{2}\equiv 2\;(mod\;4)$ và $7^{x}-3^{y}\equiv (-1)^x-(-1)^y=0\;(mod\;4)$, mâu thuẫn. Do vậy nên $x,y$ cùng chẵn. Ta đặt $x=2a,y=2b\;\;(a,b\in \mathbb{Z}^{+})$ Ta được $x^4+y^2=16a^4+4b^2$ và $7^{x}-3^{y}=7^{2a}-3^{2b}=(7^{a}+3^{b})\left ( 7^{a}-3^{b} \right )$ Vì $7^x-3^y \mid x^4+y^2$ nên $7^{a}+3^{b}\mid 16a^{4}+4b^2$. Dễ dàng chứng minh được với $b>3$ thì $3^{b}>4b^2$ và với $a>4$ thì $7^{a}>16a^4$ Khi đó $7^{a}+3^{b}>16a^4+4b^2$, mâu thuẫn. Do vậy ta có $a\in \left \{ 1,2,3,4 \right \}$ và $b\in \left \{ 1,2,3 \right \}$. Lần lượt thử các giá trị, ta nhận cặp $(a,b)=(1,1),(1,2),(2,1)$. Tương ứng với các cặp $(x,y)=(2,2),(2,4),(4,2)$. Thử lại ta kết luận các cặp số nguyên dương thỏa đề là $\boxed{(x,y)=(2,4)}$

[Bài toán] Chia hết

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn tỉnh Ninh Thuận)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y)$ sao cho $x^{4} + y^{2}$ chia hết cho $7^{x} - 3^{y}$ .

Lời giải :

Dễ thấy $7^{x} - 3^{y}$ chẵn nên $x^{4} + y^{2}$ chẵn, do đó $x, y$ cùng tính chẵn lẻ.

Nếu $x, y$ cùng lẻ thì $x^{4} + y^{2} \equiv 2 (m o d 4)$ và $7^{x} - 3^{y} \equiv (- 1)^{x} - (- 1)^{y} = 0 (m o d 4)$ , mâu thuẫn.

Do vậy nên $x, y$ cùng chẵn. Ta đặt $x = 2 a, y = 2 b (a, b \in Z^{+})$

Ta được $x^{4} + y^{2} = 16 a^{4} + 4 b^{2}$ và $7^{x} - 3^{y} = 7^{2 a} - 3^{2 b} = (7^{a} + 3^{b}) (7^{a} - 3^{b})$

Vì $7^{x} - 3^{y} ∣ x^{4} + y^{2}$ nên $7^{a} + 3^{b} ∣ 16 a^{4} + 4 b^{2}$ .

Dễ dàng chứng minh được với $b > 3$ thì $3^{b} > 4 b^{2}$ và với $a > 4$ thì $7^{a} > 16 a^{4}$

Khi đó $7^{a} + 3^{b} > 16 a^{4} + 4 b^{2}$ , mâu thuẫn. Do vậy ta có $a \in {1, 2, 3, 4}$ và $b \in {1, 2, 3}$ .

Lần lượt thử các giá trị, ta nhận cặp $(a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1)$ . Tương ứng với các cặp $(x, y) = (2, 2), (2, 4), (4, 2)$ .

Thử lại ta kết luận các cặp số nguyên dương thỏa đề là $(x, y) = (2, 4)$