Bài toán (CĐT HSG THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2010-2011) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2(2x+1)^3+2x+1=(2y-3)\sqrt{y-2}\\ \sqrt{4x+2}+\sqrt{2y+4}=6 \end{matrix}\right.$ Lời giải : Điều kiện $x\geq \dfrac{-1}{2},y\geq 2$ Xét hàm số $f(x)=2x^3+x$, hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Phương trình đầu của hệ có thể viết thành $2(2x+1)^3+(2x+1)=2\left ( y-2 \right )\sqrt{y-2}+\sqrt{y-2}\Leftrightarrow f(2x+1)=f(\sqrt{y-2})\Leftrightarrow 2x+1=\sqrt{y-2}$ Thay vào phương trình sau : $\sqrt{2\sqrt{y-2}}+\sqrt{2y+4}=6\Leftrightarrow \sqrt[4]{4y-8}+\sqrt{2y+4}=6\;\;(*)$ Ta thấy hàm số $g(x)=\sqrt[4]{4x-8}+\sqrt{2y+4}$ đồng biến trên $\left [2,+\infty \right )$. Hơn nữa $g(6)=6$ nên $y=6$ là nghiệm duy nhất của phương trình $(*)$ Kết luận : Nghiệm của hệ là $\left ( x,y \right )=\left ( \dfrac{1}{2},6 \right )$

[Bài toán] Hệ phương trình

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (CĐT HSG THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2010-2011)

Giải hệ phương trình ${2 (2 x + 1)^{3} + 2 x + 1 = (2 y - 3) y - 2 4 x + 2 + 2 y + 4 = 6$

Lời giải :

Điều kiện $x \geq \frac{- 1}{2}, y \geq 2$

Xét hàm số $f (x) = 2 x^{3} + x$ , hàm này đồng biến trên $R$ .

Phương trình đầu của hệ có thể viết thành $2 (2 x + 1)^{3} + (2 x + 1) = 2 (y - 2) y - 2 + y - 2 \Leftrightarrow f (2 x + 1) = f (y - 2) \Leftrightarrow 2 x + 1 = y - 2$

Thay vào phương trình sau : $2 y - 2 + 2 y + 4 = 6 \Leftrightarrow 4 4 y - 8 + 2 y + 4 = 6 (*)$

Ta thấy hàm số $g (x) = 4 4 x - 8 + 2 y + 4$ đồng biến trên $[2, + \infty)$ . Hơn nữa $g (6) = 6$ nên $y = 6$ là nghiệm duy nhất của phương trình $(*)$

Kết luận : Nghiệm của hệ là $(x, y) = (\frac{1}{2}, 6)$

Mô tả

Bài toán (CĐT HSG THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2010-2011) Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Xét hàm số , hàm này đồng biến trên . Phương trình đầu của hệ có thể viết thành Thay vào phương trình sau : Ta thấy hàm số đồng biến trên . Hơn nữa nên […]

Phương pháp hàm sốHệ phương trình

Nguồn: julielltv