[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán : Cho $k$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình $x^2+y^2=z^{2k+1}+z$ có vô số nghiệm nguyên dương mà $(x,y,z)=1$.

Lời giải :

Chọn $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$. Khi đó theo định lí $Fermat-Euler$, ta có : $p=m^2+n^2,\left(m,n\in \mathbb{Z}\right)$

Chọn $z=p$ và áp dụng hằng đẳng thức $Lagrange$ :

$$p^{2k+1}+p=p(p^{2k}+1)=(m^2+n^2)(p^{2k}+1)=(m.p^{2k}+n{)}^2+(m-n^2.p^{2k}{)}^2$$

Chọn $x=m.p^{2k}+n,y=m-n^2.p^{2k}$ thì phương trình đã cho có một họ nghiệm là $\boxed{(x,y,z)=(m.(m^2+n^2{)}^{2k}+n,m-n.(m^2+n^2{)}^{2k},m^2+n^2)}$ với $p=m^2+n^2$ là một số nguyên tố. Ta hoàn toàn chứng minh được có vô số nguyên tố dạng $4k+1$ và dễ dàng thấy được lúc này $(x,y,z)=1$. Từ đó có điều phải chứng minh