Diophantine Equation

Bài toán : Chứng minh rằng với số tự nhiên $k$ bất kì, phương trình

$$x^2+y^2-z^2=k$$

luôn có nghiệm nguyên dương $x,y,z$ thỏa $x<y<z$.

Lời giải :

Xét $k$ chẵn, đặt $k=2n(n\in \mathbb{N})$. Để ý đẳng thức đại số $\boxed{2n=(3n{)}^2+(4n-1{)}^2-(5n-1{)}^2}$.

Do đó nếu ta chọn $x=3n,y=4n-1,z=5n-1$. Thì với $n>1$, $(x,y,z)$ sẽ là nghiệm của phương trình và thỏa mãn $x<y<z$.

Mặt khác với $n=0$, tức $k=0$ thì phương trình luôn có nghiệm, chẳng hạn $(x,y,z)=(3,4,5)$ thỏa $x<y<z$

Và với $n=1$, tức $k=2$ thì phương trình luôn có nghiệm, chẳng hạn $(x,y,z)=(5,11,12)$ thỏa $x<y<z$.

Như vậy bài toán được giải quyết trong trường hợp $k$ chẵn.

Nếu $k$ lẻ, đặt $k=2n+3(n\in \mathbb{N}\cup \left\{-1\right\})$.

Để ý đẳng thức đại số $\boxed{2n+3=(3n+2{)}^2+(4n{)}^2-(5n+1{)}^2}$

Do đó nếu ta chọn $x=3n+2,y=4n,z=5n+1$ thì với $n>2$ ta có $x<y<z$.

Mặt khác,

Với $n=-1$, $k=1$ ta có $1=4^2+7^2-8^2$

Với $n=0$, $k=3$ ta có $3=4^2+6^2-7^2$

Với $n=1$, $k=5$ ta có $5=4^2+5^2-6^2$

Với $n=2$, $k=7$ ta có $7=6^2+14^2-15^2$

Tức là bài toán cũng được giải quyết trong trường hợp $k$ lẻ.

Bài toán chứng minh hoàn tất.