[Bài toán] Cấp số

Bài toán : Cho  $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $n\mid 2^n+5^n$. Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $7$.

Lời giải :

Dễ thấy $n$ là số nguyên dương lẻ. Gọi $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $n$.

Gọi $a$ là nghịch đảo của $2$ modulo $p$. Khi đó thì $2a\equiv 1(modp),gcd(2,a)=gcd(a,p)=1$.

Ta có $p\mid 2^n+5^n\Rightarrow p\mid (2a{)}^n+(5a{)}^n\Rightarrow (2a{)}^n+(5a{)}^n\equiv (5a{)}^n+1(modp)\Rightarrow -(5a{)}^n=(-5a{)}^n\equiv 1(modp)\Rightarrow or{d}_p(-5a)\mid n(1)$

Dễ dàng thấy $gcd(5a,p)=1$ nên theo định lí $Fermat$ nhỏ ta có $(-5a{)}^{p-1}\equiv 1(modp)\Rightarrow or{d}_p(-5a)\mid p-1(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra tồn tại một ước nguyên tố $r$ của $or{d}_p(-5a)$ mà $r<p-1<p,r\mid n$. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của $p$. Như vậy phải có $or{d}_p(-5a)=1$. Suy ra $-5a\equiv 1\equiv 2a(modp)\Rightarrow 7a\equiv 0(modp)$

Mà $gcd(a,p)=1$ nên $p=7$. Suy ra $n$ chia hết cho $7$.