1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Olympic Gặp gỡ Toán Học 2015) Tìm tất cả các hàm số và thoả mãn : 1) 2) Lời giải : Trong cho thì có : Vậy ta có với . Trong thay bởi : Tuy nhiên dễ thấy đơn ánh nên : Trong thay bởi và sử dụng : Trong cho : Trong […]
Bài toán : Cho tứ giác nội tiếp . di chuyển trên cung không chứa . cắt tại . cắt tại . giao tại . Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải : Gọi theo thứ tự là giao của tiếp tuyến tại với và tiếp tuyến tại với . Gọi là giao của […]
Bài toán (Tạp chí Mathematical Reflection Issue 4,2015) Tìm tất cả các đa thức khác hệ số nguyên và thoả mãn : Lời giải : Chọn trong ta được : Theo định lí về phương trình Pythagoras, luôn tồn tại vô số các cặp số nguyên sao cho với là một số nguyên. Gọi tập hợp gồm các […]
Bài toán : Cho tam giác nhọn, là trung điểm của . là hai đường cao của tam giác. theo thứ tự cắt tại điểm thứ hai là . Chứng minh . Lời giải : Gọi là trực tâm tam giác và là chân vuông góc từ xuống . Ta có nên nội tiếp. Tứ giác nội tiếp đường […]
Problem : Let be three natural numbers which are greater or equal to and such that : Prove that . My solution : The assumption of this problems can be writen as : Take the any prime number and let . Assume that with are positive integers and coprime with . Wlog, we can suppose […]
Problem : Let be positive real numbers which sastify and . Prove that . My Solution : Firstly, we will prove that : If be positive real numbers and be positive rational numbers such that , we get . Let with are positive integers and . Wlog, we can suppose , then . By Holder […]
BĐTĐH1 : Cho các số không âm thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của : Lời giải : Ta chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực : Nếu vế phải âm thì hiển nhiên đúng. Xét vế phải dương. Khi đó tương đương với : Theo BĐT AM-GM thì : Như vậy được chứng […]
BĐTĐH 2 : Cho các số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của : Lời giải : Vì vai trò của là như nhau nên ta sẽ tìm cách đánh giá để đẩy về dấu bằng . Đặt , ta có : Như vậy : Mặt khác, từ giả thiết : Từ đó lại tiếp tục […]
HHPTĐĐH1 : Trong mặt phẳng , cho hình thoi có tâm và . Biết điểm thuộc và điểm thuộc . Tìm điểm biết và điểm có tung độ dương. Lời giải : Gọi theo thứ tự là điểm đối xứng của qua , dễ dàng thấy thuộc và thuộc . Ta tính được và . Ta có : . Đường thẳng có là một vector […]
PTHPTĐH1 : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện : Phương trình đầu của hệ được phân tích thành : Thay vào phương trình sau : Nhận thấy nếu thì ta được . Còn nếu : Kết hợp với , suy ra : Nghiệm của hệ là :
HHPTĐĐH2 : (Thử sức trước kì thi – Toán Học và Tuổi trẻ số 426) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ , cho tam giác vuông tại ngoại tiếp tâm với tiếp điểm trên . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại khác . Các đường thẳng qua vuông góc với cắt tại . Tìm toạ độ […]
PTHPTĐH2 : (Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 THPT Chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội) Giải hệ phương trình : Lời giải : Phương trình thứ nhất của hệ có thể viết thành : Thay vô phương trình thứ hai : Phương trình hệ quả là : Thử lại ta được nghiệm của hệ :
BĐTĐH3 : Cho các số không âm và số dương thoả . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : Lời giải : Ta có Hơn nữa ta có cho nên Ta có : Với . Ta có thể kiểm chứng được . Do đó : Suy ra rằng : Bây giờ, ta thấy : […]
PTHPTĐH3 : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện : Nếu mà . Điều này mâu thuẫn với điều kiện. Vậy ta chỉ xét . Lúc này phương trình đầu của hệ tương đương với : Cộng phương trình này với phương trình đầu của hệ vế theo vế : Thay vào phương trình sau của hệ : Nghiệm […]
PTHPTĐH4 : Giải hệ phương trình Lời giải : Theo bất đẳng thức AM-GM : Dấu bằng phải xảy ra, khi đó ta có : Thay vào phương trình sau của hệ : Từ đây ta suy ra . Tuy nhiên cũng theo AM-GM : Tóm lại phải có . Nghiệm này thoả hệ. Đáp số :
PTHPTĐH5 : Giải hệ phương trình : Lời giải : Điều kiện Phương trình đầu của hệ có thể viết dưới dạng : Thay vào phương trình sau : Bằng cách xét hàm số với . Dễ thấy đồng biến trên . Do đó : Nghiệm của hệ là :
BĐTĐH4 : (Thử sức trước kì thi Tạp chí THTT số 463) Cho các số thực thoả . Tìm giá trị lớn nhất : Lời giải : Từ giả thiết, ta thấy phải tồn tại góc sao cho . Khi đó ta có các biến đổi : Từ đó : Vậy nên giá trị lớn nhất của là , đạt được khi
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I. Đổi biến lượng giác : 1. Tích phân có chứa ta đặt hoặc . 2. Tích phân có chứa ta đặt hoặc . 3. Tích phân có chứa ta đặt hoặc 4. Tích phân có chứa hoặc ta đặt 5. Tích phân có chứa ta đặt 6. Tích phân có dạng hàm số phân thức ta thường […]