Bất đẳng thức Đại Học 1

BĐTĐH1 : Cho các số không âm $x,y,z$ thoả mãn $x^3+y^3+z^3=3xyz+2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$P=x^2+2y^2+3z^2$$

Lời giải :

Ta chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực $a,b,c$ :

$$\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge \sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}(1)$$

Nếu vế phải âm thì hiển nhiên $(1)$ đúng. Xét vế phải dương. Khi đó $(1)$ tương đương với :

${\left(a^2+b^2+c^2\right)}^3$$\ge (a^3+b^3+c^3{)}^2$$\iff 3(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^3)$$\ge 2(a^3{b}^3+b^3{c}^3+c^3{a}^3)$

Theo BĐT AM-GM thì :

$3(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$$=3\left[(a^4{b}^2+a^2{b}^4)+(b^4{c}^2+b^2{c}^4)+(c^4{a}^2+c^2{a}^4)+2a^2{b}^2{c}^2\right]$

$$\ge (a^4{b}^2+a^2{b}^4)+(b^4{c}^2+b^2{c}^4)+(c^4{a}^2+c^2{a}^4)\ge 2(a^3{b}^3+b^3{c}^3+c^3{a}^3)$$

Như vậy $(1)$ được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi trong ba số có hai số bằng $0$.

Ta quay trở lại bài toán. Sử dụng BĐT $(1)$ :

$\sqrt{x^2+2y^2+3z^2}$$\ge \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$\ge \sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}$$\ge \sqrt[3]{x^3+y^3+z^3-3xyz}$$=\sqrt[3]{2}$

Tức là :

$$x^2+2y^2+3z^2\ge \sqrt[3]{4}$$

Như vậy :

$$P_{min}=\sqrt[3]{4}\iff x=\sqrt[3]{2},y=z=0$$