Polynomial

Bài toán (Tạp chí Mathematical Reflection Issue 4,2015)

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác $0$ hệ số nguyên và thoả mãn :

$$a^2+b^2-c^2|P(a)+P(b)-P(c),\forall a,b,c\in \mathbb{Z}(1)$$

Lời giải :

Chọn $b=0$ trong $(1)$ ta được :

$$a^2-c^2\mid P(a)-P(c)+P(0),\forall a,c\in \mathbb{Z}(2)$$

Theo định lí về phương trình Pythagoras, luôn tồn tại vô số các cặp số nguyên $(a,b)$ sao cho $a^2+b^2=m^2$ với $m$ là một số nguyên. Gọi tập hợp gồm các cặp số nguyên $(a,b)$ như thế là $S$.

Theo $(2)$ ta có :

$$a^2+b^2-c^2\mid P(\sqrt{a^2+b^2})-P(c)+P(0),\forall a,b\in S,c\in \mathbb{Z}(3)$$

Từ $(1)(3)$ suy ra :

$$a^2+b^2-c^2\mid P(\sqrt{a^2+b^2})-P(a)-P(b),\forall a,b\in S,c\in \mathbb{Z}$$

Cho $c\to +\infty$ thì được :

$$P\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)=P(a)+P(b),\forall a,b\in S$$

Hai đa thức bằng nhau tại vô số điểm thì chúng đồng nhất. Như vậy :

$$P(\sqrt{a^2+b^2})\equiv P(a)+P(b)$$

Chọn $a=b=x$ ta được :

$$P(x\sqrt{2})=2P(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Gỉa sử rằng $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...a_0\left(a_i\in \mathbb{Z},\forall i=\overline{0,n}\right)$.

Khi đó so sánh hệ số bậc cao nhất tương ứng ở hai vế, ta được :

$$a_n{\left(\sqrt{2}\right)}^n=2a_n\Rightarrow n=2$$

Từ đó không khó để chỉ ra được tất cả các đa thức cần tìm là :

$$P(x)=k{x}^2$$

Trong đó $k$ là số nguyên tuỳ ý.