Phương trình – Hệ phương trình Đại Học 1

PTHPTĐH1 : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{ccc}2(x^3-y^3)+xy(y-4x)=2y-x& & \\ \sqrt{4x^2+x+6}+4y=1+5\sqrt{1+2y}& & \end{array}$

Lời giải :

Điều kiện : $\{\begin{array}{ccc}4x^2+x+6\ge 0& & \\ 1+2y\ge 0& & \end{array}$

Phương trình đầu của hệ được phân tích thành :

$$2x^2(x-2y)+y^2(x-2y)=2y-x\iff (x-2y)(2x^2+y^2+1)=0\iff x=2y$$

Thay vào phương trình sau :

$$\sqrt{4x^2+x+6}+2x=1+5\sqrt{1+x}(\ast )$$

$\iff \sqrt{4x^2+x+6}+2x-1$$=5\sqrt{1+x}$$\iff \frac{(4x^2+x+6)-(2x-1{)}^2}{\sqrt{4x^2+x+6}-2x+1}$$=5\sqrt{1+x}$$\iff \frac{5(x+1)}{\sqrt{4x^2+x+5}-2x+1}$$=5\sqrt{1+x}$

$$\iff \sqrt{1+x}\left(\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{4x^2+x+6}-2x+1}-1\right)=0$$

Nhận thấy nếu $x=-1$ thì ta được $y=-1/2$. Còn nếu :

$$\sqrt{4x^2+x+6}-2x+1=\sqrt{1+x}$$

Kết hợp với $(\ast )$, suy ra :

$2x-1+\sqrt{1+x}$$=1-2x+5\sqrt{1+x}$$\iff 2\sqrt{1+x}$$=2x-1$$\iff x$$=\frac{2+\sqrt{7}}{2}$

Nghiệm của hệ là :

$(x,y)$$=\left(-1,\frac{-1}{2}\right),\left(\frac{2+\sqrt{7}}{2},\frac{2+\sqrt{7}}{4}\right)$