Hình học phẳng toạ độ Đại Học 2

HHPTĐĐH2 : (Thử sức trước kì thi – Toán Học và Tuổi trẻ số 426)

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ngoại tiếp $(C)$ tâm $K$ với tiếp điểm $D$ trên $AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ cắt $AB$ tại $E$ khác $B$. Các đường thẳng qua $A,D$ vuông góc với $CE$ cắt $BC$ tại $F,G$. Tìm toạ độ các đỉnh tam giác $ABC$ biết rằng $F(-3,-4),G(1,-1),K(-2,3)$.

Lời giải :

Ta sẽ chứng minh rằng $F$ là trung điểm của $BG$.

Gọi $O$ là giao điểm của $BD$ và $AF$. Ta có $\angle DAO=\angle AEG$ do cùng phụ với góc $EAF$ và $\angle AEG=\angle ADO$ do tứ giác $BDEC$ nội tiếp.

Từ đó có $\angle DAO=\angle ADO$, suy ra $OA=OD$, hơn nữa có tam giác $DAB$ vuông tại $A$ nên $OA=OB=OD$.

Ta có $OB=OD$, kết hợp với $AD$ song song $DG$ (do cùng vuông góc $CE$) ta được $F$ là trung điểm của $BG$.

• Từ đó ta có :

$$\{\begin{array}{ccc}{x}_B=2x_F-x_G=-7& & \\ y_B=2y_F-y_G=-7& & \end{array}$$

Tức là $B(-7,-7)$.

• Ta có $\overrightarrow{BK}=\left(5,10\right)=5(1,2)$, đường thẳng $BK$ đi qua điểm $K(-2,3)$ và nhận $(2,-1)$ làm một vector pháp tuyến :

$$(BK):2(x+2)-1.(y-3)=0\iff 2x-y+7=0$$

Gọi $G^{\prime }$ là điểm đối xứng với $G$ qua $BK$ thì rõ ràng $G^{\prime }$ thuộc $AB$. Gỉa sử $G^{\prime }(a,b)$. Ta có $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=(a-1,b+1)$.

Trung điểm $\left(\frac{a+1}{2},\frac{b-1}{2}\right)$ của $G{G}^{\prime }$ thuộc $BK$ nên :

$$2.\frac{a+1}{2}-\frac{b-1}{2}+7=0\iff 2a-b+17=0$$

Mặt khác hai vector $BK$ và $G{G}^{\prime }$ vuông góc nhau nên :

$$1.(a-1)+2(b+1)=0\iff a+2b+1=0$$

Từ đây suy ra được $G^{\prime }\left(-7,3\right)$ và $\overrightarrow{G^{\prime }B}=\left(0,-10\right)$.

Đường thẳng $AB$ đi qua $B(-7,-7)$ và nhận $(10,0)$ làm một vector pháp tuyến nên :

$$(AB):10(x+7)+0(y+7)=0\iff x+7=0$$

Dễ dàng tìm được phương trình đường thẳng $BC$ là $3x-4y-7=0$.

Bán kính đường tròn $(C)$ có độ dài bằng khoảng cách từ $K$ tới $BC$ :

$$r=d(K,BC)=\frac{\left|3.(-2)-4.3-7\right|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=5$$

Dễ dàng thấy rằng $AK=r\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Cho nên nếu gọi $A(m,n)$ thì :

$$(m+2{)}^2+(n-3{)}^2=50$$

Hơn nữa do $A$ thuộc $AB$ nên ta có hệ :

$$\{\begin{array}{ccc}(m+2{)}^2+(n-3{)}^2=50& & \\ m+7=0& & \end{array}\iff m=-7,n=3$$

Tức là A$(-7,3)$.

• Chú ý $AB$ vuông góc $AC$, đường thẳng $AC$ đi qua $A(-7,3)$ và có $\overrightarrow{G^{\prime }B}=(0,-10)$ là vector pháp tuyến nên :

  $$(AC):0(x+7)-10(y-3)=0\iff y=3$$

  $C$ là giao điểm của $AC$ và $CB$ nên toạ độ $C$ là nghiệm của hệ :

  $$\{\begin{array}{ccc}y=3& & \\ 3x-4y-7=0& & \end{array}\iff C(\frac{19}{3},3)$$

  Đáp số :

  $$\boxed{A(-7,3),B(-7,-7),C\left(\frac{19}{3},3\right)}$$