Phương trình Hệ phương trình Đại Học 5

PTHPTĐH5 : Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}{x}^3-3y^3-3x^{2}y+x{y}^2+x=3y\\ 3x^3+36y^2-1=x\sqrt[3]{27y^3+\frac{2x+1}{x}}\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện $x\ne 0$

Phương trình đầu của hệ có thể viết dưới dạng :

$\left(x^3-3x^{2}y\right)+(x{y}^2-3y^3)+(x-3y)$$=0$$\iff (x-3y)(x^2+y^2+1)$$=0$$\iff x$$=3y$

Thay vào phương trình sau :

$3x^3+4x^2-1$$=x\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}$$\iff 3x^2+4x-\frac{1}{x}$$=\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}$$\iff {\left(x+1\right)}^3+(x+1)$$=x^3+\frac{1}{x}+2+\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}$

Bằng cách xét hàm số $f(t)=t^3+t$ với $t\in \mathbb{R}$. Dễ thấy $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó :

$f(x+1)$$=d\left(\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}\right)$$\iff x+1$$=\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}$$\iff 3x^3+3x^2-x-1$$=0$$\iff x\in \left\{-1,\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}}\right\}$

Nghiệm của hệ là :

$\left(x,y\right)$$=\left(-1,\frac{-1}{3}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{3\sqrt{3}}\right),\left(\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{3\sqrt{3}}\right)$