Hình học phẳng toạ độ Đại Học 1

HHPTĐĐH1 : Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hình thoi $ABCD$ có tâm $I(2,1)$ và $AC=2BD$. Biết điểm $M\left(0,\frac{1}{3}\right)$ thuộc $AB$ và điểm $N(0,7)$ thuộc $CD$. Tìm điểm $P$ biết $\overrightarrow{BP}=5\overrightarrow{BI}$ và điểm $B$ có tung độ dương.

Lời giải :

Gọi $M^{\prime },N^{\prime }$ theo thứ tự là điểm đối xứng của $M,N$ qua $I$, dễ dàng thấy $M^{\prime }$ thuộc $CD$ và $N^{\prime }$ thuộc $AB$.

Ta tính được $M^{\prime }\left(4,\frac{5}{3}\right)$ và $N(4,-5)$.

Ta có : $\overrightarrow{M{N}^{\prime }}=\left(4,\frac{-16}{3}\right)$. Đường thẳng $(AB)$ có $\left(\frac{4}{3},1\right)$ là một vector pháp tuyến và đi qua $N^{\prime }(4,-5)$ nên :

$$(AB):\frac{4}{3}(x-4)+1.(y+5)=0\iff 4x+3y-1=0$$

Điểm $B$ thuộc $(AB)$ nên $B\left(\frac{1-3b}{4},b\right)(b>0)$. Ta tính được $\overrightarrow{IB}=\left(\frac{-3b-7}{4},b-1\right)$.

Chú ý rằng $tan\angle ABD=\frac{AI}{BI}=\frac{AC}{BD}=2$ nên $cos\angle ABD=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Và $\overrightarrow{n}=(-3,4)$ là một vector cùng phương với vector $M{N}^{\prime }$. Như vậy thì :

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{IB}$$=\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{IB}\right|.cos\left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{IB}\right)$

$\iff \frac{\sqrt{5}}{5}$$=\frac{(-3).\frac{-3b-7}{4}+4(b-1)}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}.\sqrt{{\left(\frac{3b+7}{4}\right)}^2+(b-1{)}^2}}$$\iff b$$=3/5$

Suy ra $B\left(\frac{-1}{5},\frac{3}{5}\right)$. Từ đó dễ dàng tính được $P\left(\frac{54}{5},\frac{13}{5}\right)$.