Bất đẳng thức Đại Học 2

BĐTĐH 2 : Cho các số dương $x,y,z$ thoả mãn $y+z=x(y^2+z^2)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$P=\frac{1}{(1+x{)}^2}+\frac{1}{(1+y{)}^2}+\frac{1}{(1+z{)}^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}$$

Lời giải :

Vì vai trò của $y,z$ là như nhau nên ta sẽ tìm cách đánh giá để đẩy về dấu bằng $y=z$.

Đặt $y+z=t$, ta có :

$$\frac{1}{(1+y{)}^2}+\frac{1}{(1+z{)}^2}\ge \frac{8}{(2+y+z{)}^2}=\frac{8}{(2+t{)}^2}$$

$$(1+y)(1+z)\le \frac{(2+y+z{)}^2}{4}=\frac{(t+2{)}^2}{4}$$

Như vậy :

$$P\ge \frac{1}{(1+x{)}^2}+\frac{8}{(2+t{)}^2}+\frac{16}{(1+x)(t+2{)}^2}$$

Mặt khác, từ giả thiết :

$y+z$$=x(y^2+z^2)$$\ge \frac{x(y+z{)}^2}{2}$$\iff x(y+z)$$\le 2$$\iff x$$\le \frac{2}{t}$

Từ đó lại tiếp tục suy ra :

$P$$\ge \frac{1}{{\left(1+\frac{2}{t}\right)}^2}+\frac{8}{(t+2{)}^2}+\frac{16}{\left(1+\frac{2}{t}\right).{\left(t+2\right)}^2}$$=\frac{t^3+2t^2+24t+16}{(t+2{)}^3}$$=f(t)$

$$f^{\prime }(t)=\frac{4t^4-24t^3-144t^2-160t}{(t+2{)}^3}$$

$$f^{\prime }(t)=0\iff t^4-6t^3-36t^2-40t=0\iff t(t-10)(t+2{)}^2\iff t=10$$

Bằng bảng biến thiên, ta thấy $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=10$ và $f(10)=\frac{91}{106}$.

Kết luận :

$$P_{min}=\frac{91}{106}\iff x=\frac{1}{5},y=z=5$$