BĐTĐH4 : (Thử sức trước kì thi Tạp chí THTT số 463) Cho các số thực $x,y$ thoả $x^2+y^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất : \[P=\sqrt{(5+4y-4x^2)(1-y)}\left ( \sqrt{2-2y}+\sqrt{2-x\sqrt{3}+y}+\sqrt{2+x\sqrt{3}+y} \right )\] Lời giải : Từ giả thiết, ta thấy phải tồn tại góc $\alpha$ sao cho $x=sin\alpha ,y=cos\alpha$. Khi đó ta có các biến đổi : \[5+4y-4x^2=5+4y-4(1-y^2)=4y^2+4y+1=(2y+1)^2=(2cos\alpha+1)^2\] \[1-y=1-cos\alpha=2sin^{2}\dfrac{\alpha }{2}\] \[2-x\sqrt{3}+y=2\left ( 1-sin\alpha.sin\dfrac{\pi}{3} +cos\alpha.cos\dfrac{\pi}{3}\right )=2\left ( 1+cos\left ( \alpha +\dfrac{\pi}{3} \right ) \right )=4cos^{2}\left ( \dfrac{\alpha }{2}+\dfrac{\pi }{6} \right )\] \[2+x\sqrt{3}+y=4cos^2\left ( \dfrac{\alpha }{2} -\dfrac{\pi }{6}\right )\] Từ đó : \[P=\sqrt{2}.\left | 2cos\alpha+1 \right |.\left | sin\dfrac{\alpha }{2} \right |.\left [ 2\left | sin\dfrac{\alpha }{2} \right | +2\left | cos\left ( \dfrac{\alpha }{2} +\dfrac{\pi }{6}\right ) \right |+2\left | cos\left ( \dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{\pi }{6} \right ) \right |\right ]\] \[\leq \sqrt{2}. (2cos\alpha+1 ). sin\dfrac{\alpha }{2} .\left ( 2 sin\dfrac{\alpha }{2} +2 cos\left ( \dfrac{\alpha }{2} +\dfrac{\pi }{6}\right ) +2 cos\left ( \dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{\pi }{6} \right ) \right )\] \[=\sqrt{2}(2cos\alpha+1)\left ( 1-cos\alpha +sin\left ( \dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{6} \right )+sin\left ( \dfrac{\alpha}{2} -\dfrac{\pi}{6} \right ) \right )\] \[=\sqrt{2}(2cos\alpha+1)(1-cos\alpha +\sqrt{3}sin\alpha )\leq \sqrt{2}.\frac{1}{4}\left ( cos\alpha +\sqrt{3}sin\alpha +2 \right )^2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left ( 2+2cos\left ( \dfrac{\alpha }{2} -\dfrac{\pi }{6}\right ) \right )^2\leq \sqrt{2}.\frac{1}{4}.(2+2)^2=4\sqrt{2}\] Vậy nên giá trị lớn nhất của $P$ là $4\sqrt{2}$, đạt được khi $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2},y=\dfrac{1}{2}$

Bất đẳng thức Đại Học 4

BĐTĐH4 : (Thử sức trước kì thi Tạp chí THTT số 463)

Cho các số thực $x, y$ thoả $x^{2} + y^{2} = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất :

$P = (5 + 4 y - 4 x^{2}) (1 - y) (2 - 2 y + 2 - x 3 + y + 2 + x 3 + y)$

Lời giải :

Từ giả thiết, ta thấy phải tồn tại góc $α$ sao cho $x = s in α, y = cos α$ . Khi đó ta có các biến đổi :

$5 + 4 y - 4 x^{2} = 5 + 4 y - 4 (1 - y^{2}) = 4 y^{2} + 4 y + 1 = (2 y + 1)^{2} = (2 cos α + 1)^{2}$

$1 - y = 1 - cos α = 2 s i n^{2} \frac{α}{2}$

$2 - x 3 + y = 2 (1 - s in α . s in \frac{π}{3} + cos α . cos \frac{π}{3}) = 2 (1 + cos (α + \frac{π}{3})) = 4 co s^{2} (\frac{α}{2} + \frac{π}{6})$

$2 + x 3 + y = 4 co s^{2} (\frac{α}{2} - \frac{π}{6})$

Từ đó :

$P = 2 . ∣ 2 cos α + 1 ∣ . s in \frac{α}{2} . [2 s in \frac{α}{2} + 2 cos (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) + 2 cos (\frac{α}{2} - \frac{π}{6})]$

$\leq 2 . (2 cos α + 1) . s in \frac{α}{2} . (2 s in \frac{α}{2} + 2 cos (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) + 2 cos (\frac{α}{2} - \frac{π}{6}))$

$= 2 (2 cos α + 1) (1 - cos α + s in (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) + s in (\frac{α}{2} - \frac{π}{6}))$

$= 2 (2 cos α + 1) (1 - cos α + 3 s in α) \leq 2 . \frac{1}{4} (cos α + 3 s in α + 2)^{2} = \frac{2}{4} (2 + 2 cos (\frac{α}{2} - \frac{π}{6}))^{2} \leq 2 . \frac{1}{4} . (2 + 2)^{2} = 42$

Vậy nên giá trị lớn nhất của $P$ là $42$ , đạt được khi $x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}$

Bất đẳng thức Đại Học 4

Đề bài

Mô tả