MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I. Đổi biến lượng giác : 1. Tích phân có chứa $\sqrt{a^2-x^2}$ ta đặt $x=|a|.sint,\;t\in \left [ \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right ]$ hoặc $x=|a|.cost,\;t\in \left [ 0,\pi \right ]$. 2. Tích phân có chứa $\sqrt{x^2-a^2}$ ta đặt $x=\dfrac{|a|}{sint},\;t\in \left [ \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right ]$ hoặc $x=\dfrac{|a|}{cost},\;t\in \left [ 0,\pi \right ]$. 3. Tích phân có chứa $\sqrt{a^2+x^2}$ ta đặt $x=|a|.tant,\;t\in \left ( \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right )$ hoặc $x=|a|.cott,\;t\in \left ( \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right )$ 4. Tích phân có chứa $\sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}$ hoặc $\sqrt{\dfrac{a-x}{a+x}}$ ta đặt $x=a.cos2t$ 5. Tích phân có chứa $\sqrt{(x-a)(x-b)}$ ta đặt $x=a+(b-a)sin^2t$ 6. Tích phân có dạng hàm số phân thức ta thường thay biến mới bằng mẫu số. 7. Tích phân có dạng hàm số $f\left ( x,\sqrt{g(x)} \right )$, ta đặt $t=\sqrt{g(x)}$. 8. Tích phân có dạng hàm số $f(x)=\dfrac{a.sinx+b.cosx}{c.sinx+d.cosx+e}$ ta dùng phép thế Euler : $t=tan\dfrac{x}{2}$. II. Tính tích phân có dạng hàm số hữu tỉ. Với hàm số có dạng $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ trong đó $degP<degQ$. Đa thức mẫu $Q(x)$ luôn có thể viết được dưới dạng : \[Q(x)=(x-a_1)^{k_1}.(x-a_2)^{k_2}...(x-a_n)^{k_n}.(x^2+p_1x+q_1)^{l_1}...(x^2+p_mx+q_m)^{l_m}\] Khi đó ta có biểu diễn : \[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_{1.1}}{x-a_1}+\dfrac{A_{1.2}}{(x-a_1)^2}+...+\dfrac{A_{1.k_1}}{(x-a_1)^{k_1}}+\dfrac{A_{2.1}}{x-a_2}+...+\dfrac{A_{2.k_2}}{(x-a_2)^{k_2}}+....+\dfrac{A_{n.1}}{x-a_n}+...+\dfrac{A_{n.k_n}}{(x-a_n)^{k_n}}\] \[+\dfrac{B_{1.1}}{x^2+p_1x+q_1}+\dfrac{B_{1.2}}{(x^2+p_1x+q_1)^2}+...+\dfrac{B_{1.l_1}}{(x^2+p_1x+q_1)^{l_1}}+...+\dfrac{B_{m.l_m}}{(x^2+p_mx+q_m)^{l_m}}\] Trong đó các hằng số $A_{i.j},B_{i.j}$ được xác định bằng cách đồng nhất hệ số. Một số dạng đặc biệt : 1. Nếu $P(x)=Q'(x)$ thì đưa được tích phân về dạng : $I=\int \dfrac{P(x)}{Q(x)}dx=\int \dfrac{d(Q(x))}{Q(x)}$. 2. Nếu tích phân có dạng : $I=\int \dfrac{d}{ax^2+bx+c}$ và tam thức $ax^2+bx+c$ vô nghiệm. Ta để ý : $ax^2+bx+c$ hoàn toàn có thể viết được dưới dạng $a(x+e)^2+f$. Lúc này ta áp dụng đổi biến lượng giác. 3. Nếu tích phân có dạng : $I=\int \dfrac{dx+e}{ax^2+bx+c}$. Ta có thể viết tử số dưới dạng $dx+e=p.(ax^2+bx+c)'+q$. Sau đó áp dụng cách tính tích phân dạng trên. 4. Tích phân có dạng $I=\int \dfrac{1}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}$ ta đặt $t=\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}$ hoặc $t=\sqrt{-(x+a)}+\sqrt{-(x+b)}$ III. Một số hàm lượng giác : 1. Nếu tích phân có dạng $I=\int \dfrac{1}{dsinx+ecosx+f}dx$. Ta dùng phép thế Euler. 2. Nếu tích phân có dạng : $I=\int \dfrac{asinx+bcosx+c}{dsinx+ecosx+f}dx$ ta chọn các hằng số $A,B,C$ để $TS=A(MS)'+B(MS)+C$. TS : Tử số MS : Mẫu số Sau đó đưa về dạng sử dụng phép thế Euler. 3. Nếu tích phân có dạng $I=\int \dfrac{asinx+bcosx}{(csinx+dcosx)^n}dx$ ($n$ không quá lớn) thì ta chọn các hằng số $A,B$ : \[asinx+bcosx=A(csinx+dcosx)'+B(csinx+dcosx)\] 4. Nếu tích phân có dạng $I=\int \dfrac{dx}{(asinx+bcosx)^2}$ ta chú ý : \[asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}cos(x-\alpha)\] Trong đó $\alpha$ là góc thoả $sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ IV. Một số dạng đặc biệt 1. Nếu $f(x)$ liên tục trên $\left [ -a,a \right ]$ thì $\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{a}(f(x)+f(-x))dx$ 2. Nếu $f(x)$ liên tục trên $\left [ -a,a \right ]$. Xét $I=\int_{-a}^{a}f(x)dx$ thì ta có $I=2\int_{0}^{a}f(x)dx$ khi $f$ chẵn trên $\left [ -a,a \right ]$ và $I=0$ khi trên $f$ lẻ trên $\left [ -a,a \right ]$. 3. Nếu $f(x)$ là hàm chẵn và liên tục trên $\left [ -a,a \right ]$ thì : \[\int_{-a}^{a}\dfrac{f(x)}{b^x+1}=\int_{-a}^{a}f(x)dx\] 4. Nếu tích phân có dạng $I=\int (g(x)+g'(x))e^x$, ta sử dụng tích phân từng phần.

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

I. Đổi biến lượng giác :

1. Tích phân có chứa $a^{2} - x^{2}$ ta đặt $x = ∣ a ∣. s in t, t \in [\frac{- π}{2}, \frac{π}{2}]$ hoặc $x = ∣ a ∣. cos t, t \in [0, π]$ .

2. Tích phân có chứa $x^{2} - a^{2}$ ta đặt $x = \frac{∣ a ∣}{s in t}, t \in [\frac{- π}{2}, \frac{π}{2}]$ hoặc $x = \frac{∣ a ∣}{cos t}, t \in [0, π]$ .

3. Tích phân có chứa $a^{2} + x^{2}$ ta đặt $x = ∣ a ∣. t an t, t \in (\frac{- π}{2}, \frac{π}{2})$ hoặc $x = ∣ a ∣. co tt, t \in (\frac{- π}{2}, \frac{π}{2})$

4. Tích phân có chứa $\frac{a + x}{a - x}$ hoặc $\frac{a - x}{a + x}$ ta đặt $x = a . cos 2 t$

5. Tích phân có chứa $(x - a) (x - b)$ ta đặt $x = a + (b - a) s i n^{2} t$

6. Tích phân có dạng hàm số phân thức ta thường thay biến mới bằng mẫu số.

7. Tích phân có dạng hàm số $f (x, g (x))$ , ta đặt $t = g (x)$ .

8. Tích phân có dạng hàm số $f (x) = \frac{a . s in x + b . cos x}{c . s in x + d . cos x + e}$ ta dùng phép thế Euler : $t = t an \frac{x}{2}$ .

II. Tính tích phân có dạng hàm số hữu tỉ.

Với hàm số có dạng $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ trong đó $d e g P < d e g Q$ . Đa thức mẫu $Q (x)$ luôn có thể viết được dưới dạng :

$Q (x) = (x - a_{1})^{k_{1}} . (x - a_{2})^{k_{2}} ... (x - a_{n})^{k_{n}} . (x^{2} + p_{1} x + q_{1})^{l_{1}} ... (x^{2} + p_{m} x + q_{m})^{l_{m}}$

Khi đó ta có biểu diễn :

$\frac{P ( x )}{Q ( x )} = \frac{A _{1.1}}{x - a _{1}} + \frac{A _{1.2}}{( x - a _{1} ) ^{2}} + ... + \frac{A _{1. k_{1}}}{( x - a _{1} ) ^{k_{1}}} + \frac{A _{2.1}}{x - a _{2}} + ... + \frac{A _{2. k_{2}}}{( x - a _{2} ) ^{k_{2}}} + .... + \frac{A _{n .1}}{x - a _{n}} + ... + \frac{A _{n . k_{n}}}{( x - a _{n} ) ^{k_{n}}}$

$+ \frac{B _{1.1}}{x ^{2} + p _{1} x + q _{1}} + \frac{B _{1.2}}{( x ^{2} + p _{1} x + q _{1} ) ^{2}} + ... + \frac{B _{1. l_{1}}}{( x ^{2} + p _{1} x + q _{1} ) ^{l_{1}}} + ... + \frac{B _{m . l_{m}}}{( x ^{2} + p _{m} x + q _{m} ) ^{l_{m}}}$

Trong đó các hằng số $A_{i . j}, B_{i . j}$ được xác định bằng cách đồng nhất hệ số.

Một số dạng đặc biệt :

1. Nếu $P (x) = Q^{'} (x)$ thì đưa được tích phân về dạng : $I = \int \frac{P ( x )}{Q ( x )} d x = \int \frac{d ( Q ( x ))}{Q ( x )}$ .

2. Nếu tích phân có dạng : $I = \int \frac{d}{a x ^{2} + b x + c}$ và tam thức $a x^{2} + b x + c$ vô nghiệm.

Ta để ý : $a x^{2} + b x + c$ hoàn toàn có thể viết được dưới dạng $a (x + e)^{2} + f$ . Lúc này ta áp dụng đổi biến lượng giác.

3. Nếu tích phân có dạng : $I = \int \frac{d x + e}{a x ^{2} + b x + c}$ . Ta có thể viết tử số dưới dạng $d x + e = p . (a x^{2} + b x + c)^{'} + q$ . Sau đó áp dụng cách tính tích phân dạng trên.

4. Tích phân có dạng $I = \int \frac{1}{( x + a ) ( x + b )}$ ta đặt $t = x + a + x + b$ hoặc $t = - (x + a) + - (x + b)$

III. Một số hàm lượng giác :

1. Nếu tích phân có dạng $I = \int \frac{1}{d s in x + ecos x + f} d x$ . Ta dùng phép thế Euler.

2. Nếu tích phân có dạng : $I = \int \frac{a s in x + b cos x + c}{d s in x + ecos x + f} d x$ ta chọn các hằng số $A, B, C$ để $T S = A (M S)^{'} + B (M S) + C$ .

TS : Tử số

MS : Mẫu số

Sau đó đưa về dạng sử dụng phép thế Euler.

3. Nếu tích phân có dạng $I = \int \frac{a s in x + b cos x}{( cs in x + d cos x ) ^{n}} d x$ ( $n$ không quá lớn) thì ta chọn các hằng số $A, B$ :

$a s in x + b cos x = A (cs in x + d cos x)^{'} + B (cs in x + d cos x)$

4. Nếu tích phân có dạng $I = \int \frac{d x}{( a s in x + b cos x ) ^{2}}$ ta chú ý :

$a s in x + b cos x = a^{2} + b^{2} cos (x - α)$

Trong đó $α$ là góc thoả $s in α = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, cos α = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$

IV. Một số dạng đặc biệt

1. Nếu $f (x)$ liên tục trên $[- a, a]$ thì $\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{- a}^{a} (f (x) + f (- x)) d x$

2. Nếu $f (x)$ liên tục trên $[- a, a]$ . Xét $I = \int_{- a}^{a} f (x) d x$ thì ta có $I = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ khi $f$ chẵn trên $[- a, a]$ và $I = 0$ khi trên $f$ lẻ trên $[- a, a]$ .

3. Nếu $f (x)$ là hàm chẵn và liên tục trên $[- a, a]$ thì :

$\int_{- a}^{a} \frac{f ( x )}{b ^{x} + 1} = \int_{- a}^{a} f (x) d x$

4. Nếu tích phân có dạng $I = \int (g (x) + g^{'} (x)) e^{x}$ , ta sử dụng tích phân từng phần.

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

Đề bài

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

Mô tả