Bất đẳng thức Đại Học 3

BĐTĐH3 : Cho các số không âm $a,b$ và số dương $c$ thoả $a^3+b^3=c(c-1)$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của :

$$P=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c{)}^2}$$

Lời giải :

Ta có

$$(c-2{)}^2\ge 0\iff c^2\ge 4(c-1)\iff c^3\ge 4c(c-1)=4(a^3+b^3)$$

Hơn nữa ta có $4(a^3+b^3)\ge (a+b{)}^3$ cho nên

$$c^3\ge (a+b{)}^3\iff \frac{c}{a+b}\ge 1$$

Ta có :

$P$$=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c{)}^2}$$\ge \frac{(a+b{)}^2+2c^2}{2(a+b+c{)}^2}$$=\frac{1+2{\left(\frac{c}{a+b}\right)}^2}{2{\left(1+\frac{c}{a+b}\right)}^2}$$=\frac{1+2t^2}{2(1+t{)}^2}$$=f(t)$

Với $t=\frac{c}{a+b}\ge 1$.

Ta có thể kiểm chứng được $f^{\prime }(t)\ge 0\forall t\ge 1$. Do đó :

$$f(t)\ge f(1)=\frac{3}{8}$$

Suy ra rằng :

$$P_{min}=\frac{3}{8}\iff a=b=1,c=2$$

 

Bây giờ, ta thấy :

$$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\ge a^2+b^2+c^2$$

Do vậy mà

$$P=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c{)}^2}\le 1$$.

Tóm lại là :

$$P_{max}=1\iff a=b=0,c=1$$