Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nhọn, $M$ là trung điểm của $AB$. $AD,BE$ là hai đường cao của tam giác. $CM$ theo thứ tự cắt $(CDE),(ABC)$ tại điểm thứ hai là $P,Q$. Chứng minh $MP=MQ$.

Lời giải :

Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $F$ là chân vuông góc từ $C$ xuống $AB$.

Ta có $\angle HPM=\angle HFM=90^0$ nên $HPMF$ nội tiếp. Tứ giác $EFMD$ nội tiếp đường tròn Euler của tam giác $ABC$ và tứ giác $EHPD$ nội tiếp đường tròn đường kính $CH$.

Như vậy ta có $HD,ED,FM$ đồng quy tại tâm đẳng phương $J$ của ba đường tròn $(HPMF),(EFMD),(EHPD)$.

Từ đó mà :

$$JA.JB=JE.JD=JH.JP$$

(Chú ý tứ giác $EDBA,EHPD$ nội tiếp)

Suy ra tứ giác $HPBA$ nội tiếp.

Lúc này :

$$\angle PAB=\angle PHB=\angle ACQ=\angle ABQ$$

Kéo theo $AP$ song song $QB$.

Và :

$$\angle PBA=\angle DHP=\angle DCP=\angle BAQ$$

Suy ra $PB$ song song $QA$.

Như vậy $PBQA$ là hình bình hành, dễ thấy được $M$ là trung điểm của $PQ$ hay $MP=MQ$.