Phương trình Hệ phương trình Đại Học 4

PTHPTĐH4 : Giải hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{c}x\sqrt{2-y^2}+y\sqrt{2-x^2}=2\\ \sqrt{x^2-x+2}=y^2+2xy+2x-5+\sqrt{x+1}\end{array}$$

Lời giải :

Theo bất đẳng thức AM-GM :

$$x\sqrt{2-y^2}+y\sqrt{2-x^2}\le \frac{x^2+(2-y^2)}{2}+\frac{y^2+(2-x^2)}{2}=2$$

Dấu bằng phải xảy ra, khi đó ta có :

$$\{\begin{array}{c}{x}^2=2-y^2\\ y^2=2-x^2\end{array}\iff x^2+y^2=2$$

Thay $y^2=2-x^2$ vào phương trình sau của hệ :

$$\sqrt{x^2-x+2}-\sqrt{x+1}=(2-x^2)+2xy+2x-5$$

$$\iff \frac{(x-1{)}^2}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x+1}}=-(x-1{)}^2+2(xy-1)$$

$\iff {\left(x-1\right)}^2.\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x+1}}+1\right)$$=2(xy-1)$

Từ đây ta suy ra $xy\ge 1$. Tuy nhiên cũng theo AM-GM :

$$xy\le \frac{x^2+y^2}{2}=1$$

Tóm lại phải có $x=y=1$. Nghiệm này thoả hệ. Đáp số :

$$(x,y)=(1,1)$$