Functional Equation

Bài toán (Olympic Gặp gỡ Toán Học 2015)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ và thoả mãn :

1) $$f(f(n))=4n+3,\forall n\in \mathbb{Z}$$

2) $$f(f(n)-n)=2n+3,\forall n\in \mathbb{Z}$$

Lời giải :

Trong $(2)$ cho $n=-1$ thì có :

$$f(f(-1)+1)=1$$

Vậy ta có $f(a)=1$ với $a=f(-1)+1$.

Trong $(2)$ thay $n$ bởi $2n$ :

$$f(f(2n)-2n)=4n+3=f(f(n)),\forall n\in \mathbb{Z}$$

Tuy nhiên dễ thấy $f$ đơn ánh nên :

$$f(2n)=f(n)+2n,\forall n\in \mathbb{Z}(3)$$

Trong $(1)$ thay $n$ bởi $f(n)-n$ và sử dụng $(2)$ :

$$f(2n+3)=4f(n)-4n+3,\forall n\in \mathbb{Z}(4)$$

Trong $(4)$ cho $n=a$ :

$$f(2a+3)=4f(a)-4a+3=-4a+7$$

Trong $(2)$ cho $n=2a+3$ được :

$$f(f(2a+3)-2a-3)=2(2a+3)+3=4a+9\iff f(-2a+4)=4a+9$$

Mặt khác trong $(1)$ cho $n=a$ thì được $f(1)=4a+3$. Từ đó theo $(3)$ :

$$f(4)=f(2)+4=f(1)+6=4a+9$$

Như vậy ta được $f(4)=f(-2a+4)\iff 4=-2a+4\iff a=0$. Tức $f(0)=1$

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp $f(n)=2n+1,\forall n\in \mathbb{N}$. Rõ ràng với $n=0$ thì điều này đúng.

Gỉa sử điều này đúng với $n$, xét với $n+1$ :

Từ $(2)$ ta có ngay :

$$f((2n+1)-n)=2n+3\iff f(n+1)=2(n+1)+1$$

Theo nguyên lí quy nạp ta được :

$$f(n)=2n+1,\forall n\in \mathbb{N}$$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh $f(n)=2n+1,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{-}$.

Với $f(0)=1$ và các đẳng thức $(3),(4)$ ta dễ dàng tính được $f(-1)=-1,f(-2)=-3,f(-3)=-5$.

Gỉa sử rằng :

$$f(-n)=-2n+1,\forall n\in \mathbb{N}:3\le n\le k$$

Ta cần chỉ ra rằng $f(-k-1)=-2k-1$.

Thật vậy, nếu $k$ lẻ thì theo $(3)$ :

$$f(-k-1)=f\left(\frac{-k-1}{2}\right)-k-1$$

Tuy nhiên theo giả thiết quy nạp ta có $f\left(\frac{-k-1}{2}\right)=-k$. Suy ra $f(-k-1)=-2k-1$.

Còn nếu $k$ chẵn thì theo $(4)$ :

$f(-k-1)$$=4f\left(\frac{-k-4}{2}\right)-4.\left(\frac{-k-4}{2}\right)+3$$=4.\left(-k-3\right)+2(k+4)+3$$=-2k-1$

Quy nạp hoàn tất, ta được :

$$f(n)=2n+1,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{-}$$

Đáp số của bài toán là :

$$f(n)=2n+1,\forall n\in \mathbb{Z}$$