Geometry

Bài toán : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $P$ di chuyển trên cung $CD$ không chứa $A,B$. $PA$ cắt $DB,DC$ tại $E,F$. $PB$ cắt $CA,CD$ tại $G,H$. $GF$ giao $EH$ tại $Q$. Chứng minh $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Gọi $U,V$ theo thứ tự là giao của tiếp tuyến tại $B$ với $AC$ và tiếp tuyến tại $A$ với $BD$. Gọi $T$ là giao của $BU$ và $AV$.

Áp dụng định lí Pascal cho bộ sáu điểm $(D,B,B,P,A,C)$ thì ta được $U,E,H$ thẳng hàng.

Tương tự thì $V,G,F$ thẳng hàng.

Tiếp tục gọi $W$ là giao của $AB$ và $CD$.

Áp dụng định lí Pascal cho bộ sáu điểm $(A,A,C,D,B,B)$ thì ta có $U,V,W$ thẳng hàng.

Xét hai tam giác $BUH$ và $AVF$ có $AB,UV,HF$ đồng quy.

Và :

$$P=AF\cap BH,Q=VF\cap UH,T=AV\cap BU$$

Theo định lí Desargues ta có $P,Q,T$ thẳng hàng. Dễ thấy $T$ cố định nên $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.