Phương trình Hệ phương trình Đại Học 3

PTHPTĐH3 : Giải hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{ccc}\sqrt{y-3x+4}+\sqrt{y+5x+4}=4& & \\ \sqrt{5y+3}-\sqrt{7x-2}=2x-4y-1& & \end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện : $\{\begin{array}{c}y-3x+4\ge 0,y+5x+4\ge 0\\ y\ge \frac{-3}{5},x\ge \frac{2}{7}\end{array}$

Nếu mà $\sqrt{y-3x+4}=\sqrt{y+5x+4}\iff x=0$. Điều này mâu thuẫn với điều kiện.

Vậy ta chỉ xét $\sqrt{y-3x+4}\ne \sqrt{y+5x+4}$. Lúc này phương trình đầu của hệ tương đương với :

$\frac{(y+5x+4)-(y-3x+4)}{\sqrt{y+5x+4}-\sqrt{y-3x+4}}$$=4$$\iff \sqrt{y+5x+4}-\sqrt{y-3x+4}$$=2x$

Cộng phương trình này với phương trình đầu của hệ vế theo vế :

$$\sqrt{y+5x+4}=x+2\iff y=x^2-x$$

Thay vào phương trình sau của hệ :

$\sqrt{5x^2-5x+3}-\sqrt{7x-2}$$=-4x^2+6x-1$$\iff \left(\sqrt{5x^2-5x+3}-x-1\right)-\left(\sqrt{7x-2}-2x\right)$$=-(4x^2-7x+2)$

$\iff \frac{(5x^2-5x+3)-(x+1{)}^2}{\sqrt{5x^2-5x+3}+x+1}-\frac{7x-2-4x^2}{\sqrt{7x-2}+2x}$$=-(4x^2-7x+2)$

$\iff \left(4x^2-7x+2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5x^2-5x+3}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{7x-2}+2x}+1\right)$$=0$$\iff 4x^2-7x+2$$=0$

Nghiệm của hệ phương trình là :

$$\left(x,y\right)=\left(\frac{7-\sqrt{17}}{3},\frac{45-11\sqrt{17}}{9}\right)$$