Tuyển tập Hệ phương trình113 bài

Bài toán (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 424)

Giải phương trình :

$${\left(x^3+\frac{1}{x^3}+1\right)}^4=3{\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)}^3$$

Lời giải :

Sử dụng BĐT Holder :

$3{\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)}^3$$=\left(1+1+1\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)$$\ge {\left(\sqrt[4]{(x^4{)}^3}+\sqrt[4]{\frac{1}{(x^4{)}^3}}+1\right)}^4$$={\left(x^3+\frac{1}{x^3}+1\right)}^4$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1$. Và đó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Hùng Vương, Bình Dương) 

Giải phương trình 

$$4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}}}$$

Lời giải :

Điều kiện $x\ge 0$.

Đặt $\frac{1}{4}\sqrt{x+30}=y\ge 0$ thì $4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+y}}}$

Đặt $\frac{1}{4}\sqrt{30+y}=z\ge 0$ thì $4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+z}}$

Đặt $\frac{1}{4}\sqrt{30+z}=t\ge 0$ thì $4x=\sqrt{30+t}$

Ta được hệ phương trình hoán vị vòng quanh :

$$\{\begin{array}{c}16x^2=30+t\\ 16y^2=30+x\\ 16z^2=30+y\\ 16t^2=30+z\end{array}$$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x=max\left\{x,y,z,t\right\}$ ta có :

$x$$\ge y$$\Rightarrow 30+x$$\ge 30+y$$\Rightarrow 16y^2$$\ge 16z^2$$\Rightarrow y$$\ge z(1)$$\Rightarrow 30+y$$\ge 30+z$$\Rightarrow 16z^2$$\ge 16t^2$$\Rightarrow z$$\ge t(2)$$\Rightarrow 30+z$$\ge 30+t$$\Rightarrow 16t^2$$\ge 16x^2$$\Rightarrow t$$\ge x(3)$

Từ $(1)(2)(3)$ ta được $y\ge x$, kết hợp với giả sử ban đầu ta suy ra $x=y$.

Hoàn toàn tương tự ta được $x=y=z=t$

Dẫn đến phương trình $16x^2=30+x\iff x=\frac{1+\sqrt{1921}}{32}(x\ge 0)$

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Kết luận : Nghiệm của phương trình là $x=\frac{1+\sqrt{1921}}{32}$

Bài toán (CĐT HSG vòng 2 THPT Chuyên Nguyễn Du Đắc Lắc, 2013-2014) 

Giải phương trình $x=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3x+2}+2}+2}$

Lời giải :

Đặt $\sqrt[3]{3x+2}=y$ ta được $x=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3y+2}+2}$

Lại đặt $\sqrt[3]{3y+2}=z$ thì được $x=\sqrt[3]{3z+2}$

Như vậy ta được hệ hoán vị vòng quanh :

$$\{\begin{array}{c}{x}^3=3z+2\\ y^3=3x+2\\ z^3=3y+2\end{array}$$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x=max\left\{x,y,z\right\}$.

Ta có :

$x$$\ge y$$\Rightarrow x^3$$\ge y^3$$\Rightarrow 3z+2$$\ge 3x+2$$\Rightarrow z$$\ge x$$\Rightarrow z^3$$\ge x^3$$\Rightarrow 3y+2$$\ge 3z+2$$\Rightarrow y$$\ge z$

Từ đó ta thu được $x\ge y\ge z\ge x$, dẫn đến $x=y=z$.

Dẫn đến phương trình $x^3-3x-2=0\iff (x-2)(x+1{)}^2=0\iff x\in \left\{-1,2\right\}$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $S=\left\{(x,y,z)=(-1,-1,-1),(2,2,2)\right\}$

Bài toán (CĐT Olympic 30-4 toán 11 năm 2013-2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh tỉnh Đồng Nai) 

Giải phương trình: $6x^2-4=5\sqrt{2x^4+x^3-4x^2+1}$

Lời giải :

Phương trình được viết lại :

$$6x^2-4=5\sqrt{(x^2+x-1)(2x^2-x-1)}$$

Đặt $\sqrt{x^2+x-1}=a\ge 0,\sqrt{2x^2-x-1}=b\ge 0\Rightarrow a^2+b^2=3x^2-2$

Do vậy ta được phương trình : $2(a^2+b^2)=5ab\iff (a-2b)(2a-b)=0$

Nếu $a=2b\iff x^2+x-1=4(2x^2-x-1)\iff 7x^2-5x-3=0\iff x=\frac{5\pm \sqrt{109}}{14}$

Nếu $2a=b\iff 4(x^2+x-1)=2x^2-x-1\iff 2x^2+5x-3=0\iff x\in \left\{-3,1/2\right\}$

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là  $S=\left\{-3,\frac{1}{2},\frac{5\pm \sqrt{109}}{14}\right\}$

Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu) Giải phương trình $8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}$

Lời giải :

Có thể viết phương trình thành : $(2x-1{)}^3-x+1=\sqrt[3]{3x-2}$

Ta đặt $\sqrt[3]{3x-2}=2y-1\Rightarrow \{\begin{array}{c}(2y-1{)}^3=3x-2\\ (2x-1{)}^3-x+1=2y-1\end{array}$

Trừ vế theo vế hai phương trình này thì được : $(2y-1{)}^3-(2x-1{)}^3=2x-2y\iff (2x-1{)}^3+2x=(2y-1{)}^3+2y$

Dễ thấy hàm số $f(t)=t^3+t+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f(2x-1)=f(2y-1)\iff 2x-1=2y-1\iff x=y$

Dẫn đến phương trình $\sqrt[3]{3x-2}=2x-1\iff 8x^3-12x^2+6x-1=3x-2\iff 8x^3-12x^2+3x+1=0\iff (x-1)(8x^2-4x-1)=0\iff x\in \left\{1,\frac{1\pm \sqrt{3}}{4}\right\}$

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1,\frac{1\pm \sqrt{3}}{4}\right\}$

Bài toán : Giải phương trình $\sqrt[3]{3x+4}=x^3+3x^2+x-2$

Lời giải :

Phương trình được viết lại : $(3x+4)+\sqrt[3]{3x+4}=(x+1{)}^3+(x+1)$

Dễ thấy hàm $f(t)=t^3+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên từ $f(\sqrt[3]{3x+4})=f(x+1)\iff \sqrt[3]{3x+4}=x+1\iff 3x+4=x^3+3x^2+3x+1\iff x^3+3x^2-3=0$

Đặt $x=y-1$ ta được : $(y-1{)}^3+3(y-1{)}^2-3=0\iff y^3-3y-1=0\iff y\in \left\{2cos\frac{\pi }{9},2cos\frac{5\pi }{9},2cos\frac{7\pi }{9}\right\}$

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{2cos\frac{\pi }{9}-1,2cos\frac{5\pi }{9}-1,2cos\frac{7\pi }{9}-1\right\}$

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2002 THPT Thị xã Cao Lãnh tỉnh Đồng Tháp) Giải phương trình $2x^3-x^2+\sqrt[3]{2x^3-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^2+2}$

Lời giải :

Đưa phương trình về dạng : $(2x^3-3x)+\sqrt[3]{2x^3-3x+1}=x^2+1+\sqrt[3]{x^2+2}$

Xét hàm số $f(x)=x+\sqrt[3]{x+1}$. Dễ dàng thấy được hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Khi đó ta có

$f(2x^3-3x)$$=f(x^2+1)$$\iff 2x^3-3x$$=x^2+1$$\iff 2x^3-x^2-3x-1$$=0$$\iff (2x+1)(x^2-x-1)$$=0$$\iff x\in \left\{\frac{-1}{2},\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right\}$.

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{-1}{2},\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right\}$

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Tiền Giang tỉnh Tiền Giang) : Giải phương trình $8x^3+10x-17=8\sqrt[3]{30x-24x^2-7}$

Lời giải :

Đặt $\sqrt[3]{30x-24x^2-7}=y$

Ta được hệ : $\{\begin{array}{c}8x^3+10x-17=8y\\ -24x^2+30x-7=y^3\end{array}$

Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ :

$$8x^3-24x^2+40x-24=y^3+8y\iff (2x-2{)}^3+8(2x-2)=y^3+8y$$

Nhận thấy hàm số $f(x)=x^3+8x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, từ đó ta có :

$f(2x-2)$$=f(y)$$\iff 2x-2$$=y$$\iff (2x-2{)}^3$$=-24x^2+30x-7$$\iff 8x^3-6x$$=1(\ast )$

Ta xét  $|x|\le 1$.

Đặt $x=cost,t\in \left[0,\pi \right]$ thì ta được :

$2(4co{s}^{3}t-3cost)$$=1$$\iff cos3t$$=\frac{1}{2}$$\iff 3t$$=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$$\iff t$$=\pm \frac{\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3}$

Do $t\in \left[0,\pi \right]\Rightarrow \pm \frac{\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3}\in \left[0,\pi \right]\Rightarrow k\in \left\{0,1\right\}$

Từ đó ta tìm được $x\in \left\{cos\frac{5\pi }{9},cos\frac{\pi }{9},cos\frac{7\pi }{9}\right\}$

Phương trình $(\ast )$ có bậc ba nên có tối đa ba nghiệm. Do đó trường hợp $|x|>1$ thì nó vô nghiệm.

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{cos\frac{5\pi }{9},cos\frac{\pi }{9},cos\frac{7\pi }{9}\right\}$