Tuyển tập Hệ phương trình113 bài

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Hưng Yên, Hưng Yên)

Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}x-y-3=2\sqrt{x^2+3}-2\sqrt{y^2+6y+12}\\ (2x-5)\sqrt{x+2}+(2y+7)\sqrt{1-y}+\sqrt{xy+2x-y-2}=|y+2|+4x-4\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện : $\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ y\le 1\\ xy+2x-y-2=(x-1)(y+2)\ge 0\end{array}$

Đặt $t=y+3$. Phương trình đầu viết thành :

$x-t$$=2\sqrt{x^2+3}-2\sqrt{t^2+3}$$\iff x-t$$=\frac{2(x^2-t^2)}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}}$$\iff x-t$$=0\vee \sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}$$=2(x+t)$

Trước tiên ta xét :

$$\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}=2(x+t)$$

Xét hai trường hợp :

• Nếu $x\ge 1$ và $y\ge -2$.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$4(x+t{)}^2$$={\left(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}\right)}^2$$\le 2(x^2+t^2+6)$$\iff x^2+t^2+4xt$$\le 6$

Dễ dàng suy ra được $xt\le 1$ hay $x(y+3)\le 1$.

Nhưng điều này là không thể vì khi đó :

$$(x-1)(y+2)=xy+2x-y-2=(xy+3x)-5x-(y+2)\le 1-5.1-0=-4<0$$

• Nếu $x\le 1$ và $y\le -2$.

Khi đó thì $x\le 1$ và $t=y+3\le 1$. Dễ dàng thấy $\sqrt{x^2+3}\ge 2x,\sqrt{t^2+3}\ge 2t$. Từ đó :

$$\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}\ge 2(x+t)$$

Và cũng dễ thấy đẳng thức không thể xảy ra.

Vậy ta còn lại trường hợp duy nhất $x=t$ hay $x=y+3$. Thay vào phương trình sau :

$$(2y+1)\sqrt{y+5}+(2y+7)\sqrt{1-y}=4y+8$$

Đặt $\{\begin{array}{c}\sqrt{y+5}=a\\ \sqrt{1-y}=b\end{array}$ thì $2y+1=2a^2-9$ và $2y+7=9-2b^2$.

Chú ý cũng có $a^2+b^2=6$. Ta có hệ :

$$\{\begin{array}{c}{a}^2+b^2=6\\ (2a^2-9)a+(9-2b^2)b=4a^2-12\end{array}$$

Từ đây ta suy ra :

$(2a^2-9)a+(9-2b^2)b$$=4a^2-2(a^2+b^2)$$\iff (2a^3-2b^3)-9(a-b)$$=2(a^2-b^2)$$\iff (a-b)(2a^2+2ab+2b^2-9-2a-2b)$$=0$

Nếu $a=b$ thì $a=b=\sqrt{3}$. Từ đây có $y=-2$.

Nếu $2a^2+2b^2+2ab=9+2(a+b)$. Kết hợp với $a^2+b^2=6$. Ta có :

$6+(a+b{)}^2$$=9+2(a+b)$$\iff a+b$$=3$$\iff \sqrt{y+5}+\sqrt{1-y}$$=3$$\iff y$$=\frac{-4\pm 3\sqrt{3}}{2}$

Nghiệm của hệ phương trình :

$(x,y)$$=(1,-2),\left(\frac{2+3\sqrt{3}}{2},\frac{-4+3\sqrt{3}}{2}\right),\left(\frac{2-3\sqrt{3}}{2},\frac{-4-3\sqrt{3}}{2}\right)$

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai)

Giải phương trình :

$$(x+2)\left(\sqrt{1+x+x^2}-1\right)+\frac{4x^2+6x+2}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}=0$$

Lời giải :

Phương trình đã cho tương đương với :

$$(x+2).\frac{x(x+1)}{1+\sqrt{1+x+x^2}}+\frac{2(2x+1)(x+1)}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}=0$$

$\iff (x+1).\left[\frac{x(x+2)}{1+\sqrt{1+x+x^2}}+\frac{4x+2}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}\right]$$=0$

Suy ra $x=-1$ là một nghiệm của phương trình. Ta xét phần còn lại :

$\frac{x(x+2)}{1+\sqrt{1+x+x^2}}+\frac{4x+2}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}$$=0$$\iff 2(x^2+4x+1)+(x^2+2x)\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+(4x+2)\sqrt{1+x+x^2}$$=0$

Đưa vào những lượng liên hợp :

$2(x^2+4x+1)+(x^2+2x)\left(\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+x\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+(4x+2)\left(\sqrt{1+x+x^2}+\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\sqrt{2}(x-1)(x^2+2x)-\frac{(x-1)(4x+2)}{\sqrt{2}}$$=0$

$\iff (x^2+4x+1)\left[2-\sqrt{2}(x-1)\right]+\frac{(x^2+2x)(x^2+1)(x^2+4x+1)}{\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+\sqrt{2}-x\sqrt{2}}+(4x+2).\frac{x^2+4x+1}{2\left(\sqrt{1+x+x^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}$$=0$

Tới đây ta suy ra :

$$x^2+4x+1=0\iff x=-2\pm \sqrt{3}$$

Và đây là những nghiệm của phương trình đã cho.

Ta xét tiếp phần còn lại :

$\frac{(x^2+2x)(x^2+1)}{\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+\sqrt{2}-x\sqrt{2}}+\frac{2x+1}{\sqrt{1+x+x^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}}+2+\sqrt{2}-x\sqrt{2}$$=0(\ast )$

Ta sẽ chứng minh $(\ast )$ vô nghiệm bằng cách chỉ ra $VT(\ast )>0$.

Từ phương trình đã cho ta suy ra được $x<0$. Do đó nếu ta chỉ ra được hai kết quả sau thì ta hoàn tất bài toán :

• $$\frac{((x^2+2x)(x^2+1))}{\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+\sqrt{2}-x\sqrt{2}}+2>0(1)$$

Biến đổi tương đương thành :

$(x^2+2x)(x^2+1)+2\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+2\sqrt{2}-2x\sqrt{2}$$>0$$\iff x^4+2x^3+x^2+(2-2\sqrt{2})x+2\sqrt{2}+2\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}$$>0$

Xét hàm số $f(x)=x^4+2x^3+x^2+(2-2\sqrt{2})x+2\sqrt{2},x<0$

$$f^{\prime }(x)=4x^3+6x^2+2x+2-2\sqrt{2}$$

Dễ chứng minh được $f^{\prime }(x)$ chỉ có nghiệm duy nhất  $x_0\in (0,1)$. Từ đó $f^{\prime }(x)<0$ với $x<0$. Tức $f$ nghịch biến trên $\left(-\infty ,0\right)$. Suy ra $f(x)>f(0)=2\sqrt{2}>0$. Từ đó $(1)$ là đúng.

• $$\frac{2x+1}{\sqrt{1+x+x^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}}+\sqrt{2}>0(2)$$

Biến đổi tương đương thành :

$$x+2+\sqrt{2+2x+2x^2}>0$$

Đặt $g(x)=x+2+\sqrt{2+2x+2x^2}$, bằng một vài phép toán đơn giản, ta chỉ ra được $g(x)$ vô nghiệm. Từ đó $g(x)$ chỉ mang một dấu trên toàn tập số thực. Kiểm tra được $g(x)>0$ với mọi $x$.

Tóm lại $(2)$ cũng được chứng minh.

Tập nghiệm của phương trình đã cho :

$$S=\left\{-1,-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}\right\}$$

Nếu nghĩ ra sớm hơn thì hay quá T.T

Bài toán (Thầy Trần Văn Toàn)

Giải phương trình :

$$\frac{18}{\sqrt{x+2}+3}-\frac{3}{\sqrt{3x+4}+5}+x^3+2x^2+3x-2=0$$

Lời giải :

Phương trình đã cho tương đương :

$\left(\frac{18}{\sqrt{x+2}+3}-\frac{9}{2}\right)-\left(\frac{3}{\sqrt{3x+4}+5}-\frac{1}{2}\right)+(x^3+2x^2+3x+2)$$=0$

$\iff \frac{9\left(1-\sqrt{x+2}\right)}{2\left(\sqrt{x+2}+3\right)}-\frac{1-\sqrt{3x+4}}{2\left(\sqrt{3x+4}+5\right)}+(x+1)(x^2+x+2)$$=0$

$\iff \frac{-9(x+1)}{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)}+\frac{3(x+1)}{2\left(1+\sqrt{3x+4}\right).\left(5+\sqrt{3x+4}\right)}+(x+1)(x^2+x+2)$$=0$

Rõ ràng $x=-1$ là nghiệm của phương trình, xét $x\ne -1$ thì suy ra :

$\frac{-9}{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)}+\frac{3}{2\left(1+\sqrt{3x+4}\right).\left(5+\sqrt{3x+4}\right)}+x^2+x+2$$=0$

Ta sẽ chứng minh phương trình này vô nghiệm bằng cách chỉ ra :

$\frac{-9}{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)}+x^2+x+2$$>0$$\iff 2(x^2+x+2)\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)$$>9$

Điều này luôn đúng vì :

$2(x^2+x+2)\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)$$=2\left[{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}\right]\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)$$>2.\frac{7}{4}.3.1$$=\frac{21}{2}$$>9$

Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1$

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Lê Quý Đôn, TP Đà Nẵng)

Giải bất phương trình :

$$\frac{x^2-5x+14}{2+3\sqrt[3]{x^2-x+1}}<\frac{2}{x}$$

Lời giải :

Điều kiện $x\ne 0$. Xét hàm số $f(x)=\frac{x^2-5x+14}{2+3\sqrt[3]{x^2-x+1}}-\frac{2}{x}$.

Ta xét :

$f(x)$$=0$$\iff x^3-5x^2+14x-4$$=6\sqrt[3]{x^2-x+1}$$\iff x^3-5x^2+14x-10$$=6\left(\sqrt[3]{x^2-x+1}-1\right)$$\iff (x-1)(x^2-4x+10)$$=\frac{6x(x-1)}{\sqrt[3]{(x^2-x+1{)}^2}+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}$

Vậy suy ra $x=1$ hoặc :

$$x^2-4x+10=\frac{6x}{\sqrt[3]{(x^2-x+1{)}^2}+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}(2)$$

Ta sẽ chứng minh $(2)$ vô nghiệm. Thật vậy, từ $(2)$ suy ra $x>1$. Tuy nhiên từ đề bài, ta có :

$x^3-5x^2+14x-4$$=6\sqrt[3]{x^2-x+1}$$\le 2\left(1+1+x^2-x+1\right)$$=2(x^2-x+3)$$\iff x$$\le 1$

Vậy $(2)$ vô nghiệm. Suy ra nghiệm của $f(x)$ là $x=1$. Lập bảng xét dấu ta được tập nghiệm của bất phương trình :

$$S=\left(0,1\right)$$

PTHTPĐH6 (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

Giải phương trình :

$$\frac{1+2\sqrt{3(1-x{)}^3}}{3\sqrt[3]{3(2x-1)+2}}=1-x$$

Lời giải :

Đặt $\sqrt{3(1-x)}=a\ge 0,\sqrt[3]{3(2x-1)}=b$ thì $1-x=\frac{a^2}{3}$. Từ đó phương trình đã cho trở thành :

$\frac{1+2\sqrt{3(1-x{)}^3}}{1-x}$$=3\sqrt[3]{3(2x-1)}+2$$\iff \frac{1}{1-x}+2\sqrt{3(1-x)}$$=3\sqrt[3]{3(2x-1)}+2$$\iff \frac{3}{a^2}+2a$$=3b+2$$\iff 3+2a^3$$=3b{a}^2+2a^2$

Hơn nữa còn có :

$$2a^2+b^3=6(1-x)+3(2x-1)=3$$

Vậy ta có hệ $\{\begin{array}{c}2a^2+b^3=3\\ 3+2a^3=3b{a}^2+2a^2\end{array}$.

Cộng vế theo vế hai phương trình này :

$$2a^3+b^3=3b{a}^2\iff (a-b{)}^2(2a+b)=0\iff a=b\vee b=-2a$$

Nếu $b=a$ thì $\sqrt{3(1-x)}=\sqrt[3]{3(2x-1)}\iff 3(1-x{)}^3=(2x-1{)}^2\iff x=\frac{2}{3}$

Nếu $b=-2a$ thì :

$$\sqrt[3]{3(2x-1)}=-2\sqrt{3(1-x)}\iff \{\begin{array}{c}9(2x-1{)}^2=1728(1-x{)}^3(1)\\ x\le \frac{1}{2}\end{array}$$

Dễ dàng chỉ ra được $(1)$ có nghiệm duy nhất trên $\left(\frac{3}{5},1\right)$. Ta gặp mâu thuẫn.

Nghiệm của phương trình là $x=\frac{2}{3}$

PTHPTĐH5 : Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}{x}^3-3y^3-3x^{2}y+x{y}^2+x=3y\\ 3x^3+36y^2-1=x\sqrt[3]{27y^3+\frac{2x+1}{x}}\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện $x\ne 0$

Phương trình đầu của hệ có thể viết dưới dạng :

$\left(x^3-3x^{2}y\right)+(x{y}^2-3y^3)+(x-3y)$$=0$$\iff (x-3y)(x^2+y^2+1)$$=0$$\iff x$$=3y$

Thay vào phương trình sau :

$3x^3+4x^2-1$$=x\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}$$\iff 3x^2+4x-\frac{1}{x}$$=\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}$$\iff {\left(x+1\right)}^3+(x+1)$$=x^3+\frac{1}{x}+2+\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}$

Bằng cách xét hàm số $f(t)=t^3+t$ với $t\in \mathbb{R}$. Dễ thấy $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó :

$f(x+1)$$=d\left(\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}\right)$$\iff x+1$$=\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{x}+2}$$\iff 3x^3+3x^2-x-1$$=0$$\iff x\in \left\{-1,\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}}\right\}$

Nghiệm của hệ là :

$\left(x,y\right)$$=\left(-1,\frac{-1}{3}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{3\sqrt{3}}\right),\left(\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{3\sqrt{3}}\right)$

PTHPTĐH4 : Giải hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{c}x\sqrt{2-y^2}+y\sqrt{2-x^2}=2\\ \sqrt{x^2-x+2}=y^2+2xy+2x-5+\sqrt{x+1}\end{array}$$

Lời giải :

Theo bất đẳng thức AM-GM :

$$x\sqrt{2-y^2}+y\sqrt{2-x^2}\le \frac{x^2+(2-y^2)}{2}+\frac{y^2+(2-x^2)}{2}=2$$

Dấu bằng phải xảy ra, khi đó ta có :

$$\{\begin{array}{c}{x}^2=2-y^2\\ y^2=2-x^2\end{array}\iff x^2+y^2=2$$

Thay $y^2=2-x^2$ vào phương trình sau của hệ :

$$\sqrt{x^2-x+2}-\sqrt{x+1}=(2-x^2)+2xy+2x-5$$

$$\iff \frac{(x-1{)}^2}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x+1}}=-(x-1{)}^2+2(xy-1)$$

$\iff {\left(x-1\right)}^2.\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x+1}}+1\right)$$=2(xy-1)$

Từ đây ta suy ra $xy\ge 1$. Tuy nhiên cũng theo AM-GM :

$$xy\le \frac{x^2+y^2}{2}=1$$

Tóm lại phải có $x=y=1$. Nghiệm này thoả hệ. Đáp số :

$$(x,y)=(1,1)$$