Phương trình – Hệ phương trình Đại học 10

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai)

Giải phương trình :

$$(x+2)\left(\sqrt{1+x+x^2}-1\right)+\frac{4x^2+6x+2}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}=0$$

Lời giải :

Phương trình đã cho tương đương với :

$$(x+2).\frac{x(x+1)}{1+\sqrt{1+x+x^2}}+\frac{2(2x+1)(x+1)}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}=0$$

$\iff (x+1).\left[\frac{x(x+2)}{1+\sqrt{1+x+x^2}}+\frac{4x+2}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}\right]$$=0$

Suy ra $x=-1$ là một nghiệm của phương trình. Ta xét phần còn lại :

$\frac{x(x+2)}{1+\sqrt{1+x+x^2}}+\frac{4x+2}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}$$=0$$\iff 2(x^2+4x+1)+(x^2+2x)\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+(4x+2)\sqrt{1+x+x^2}$$=0$

Đưa vào những lượng liên hợp :

$2(x^2+4x+1)+(x^2+2x)\left(\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+x\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+(4x+2)\left(\sqrt{1+x+x^2}+\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\sqrt{2}(x-1)(x^2+2x)-\frac{(x-1)(4x+2)}{\sqrt{2}}$$=0$

$\iff (x^2+4x+1)\left[2-\sqrt{2}(x-1)\right]+\frac{(x^2+2x)(x^2+1)(x^2+4x+1)}{\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+\sqrt{2}-x\sqrt{2}}+(4x+2).\frac{x^2+4x+1}{2\left(\sqrt{1+x+x^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}$$=0$

Tới đây ta suy ra :

$$x^2+4x+1=0\iff x=-2\pm \sqrt{3}$$

Và đây là những nghiệm của phương trình đã cho.

Ta xét tiếp phần còn lại :

$\frac{(x^2+2x)(x^2+1)}{\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+\sqrt{2}-x\sqrt{2}}+\frac{2x+1}{\sqrt{1+x+x^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}}+2+\sqrt{2}-x\sqrt{2}$$=0(\ast )$

Ta sẽ chứng minh $(\ast )$ vô nghiệm bằng cách chỉ ra $VT(\ast )>0$.

Từ phương trình đã cho ta suy ra được $x<0$. Do đó nếu ta chỉ ra được hai kết quả sau thì ta hoàn tất bài toán :

• $$\frac{((x^2+2x)(x^2+1))}{\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+\sqrt{2}-x\sqrt{2}}+2>0(1)$$

Biến đổi tương đương thành :

$(x^2+2x)(x^2+1)+2\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+2\sqrt{2}-2x\sqrt{2}$$>0$$\iff x^4+2x^3+x^2+(2-2\sqrt{2})x+2\sqrt{2}+2\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}$$>0$

Xét hàm số $f(x)=x^4+2x^3+x^2+(2-2\sqrt{2})x+2\sqrt{2},x<0$

$$f^{\prime }(x)=4x^3+6x^2+2x+2-2\sqrt{2}$$

Dễ chứng minh được $f^{\prime }(x)$ chỉ có nghiệm duy nhất  $x_0\in (0,1)$. Từ đó $f^{\prime }(x)<0$ với $x<0$. Tức $f$ nghịch biến trên $\left(-\infty ,0\right)$. Suy ra $f(x)>f(0)=2\sqrt{2}>0$. Từ đó $(1)$ là đúng.

• $$\frac{2x+1}{\sqrt{1+x+x^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}}+\sqrt{2}>0(2)$$

Biến đổi tương đương thành :

$$x+2+\sqrt{2+2x+2x^2}>0$$

Đặt $g(x)=x+2+\sqrt{2+2x+2x^2}$, bằng một vài phép toán đơn giản, ta chỉ ra được $g(x)$ vô nghiệm. Từ đó $g(x)$ chỉ mang một dấu trên toàn tập số thực. Kiểm tra được $g(x)>0$ với mọi $x$.

Tóm lại $(2)$ cũng được chứng minh.

Tập nghiệm của phương trình đã cho :

$$S=\left\{-1,-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}\right\}$$