Phương trình – Hệ phương trình Đại học 7

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Lê Quý Đôn, TP Đà Nẵng)

Giải bất phương trình :

$$\frac{x^2-5x+14}{2+3\sqrt[3]{x^2-x+1}}<\frac{2}{x}$$

Lời giải :

Điều kiện $x\ne 0$. Xét hàm số $f(x)=\frac{x^2-5x+14}{2+3\sqrt[3]{x^2-x+1}}-\frac{2}{x}$.

Ta xét :

$f(x)$$=0$$\iff x^3-5x^2+14x-4$$=6\sqrt[3]{x^2-x+1}$$\iff x^3-5x^2+14x-10$$=6\left(\sqrt[3]{x^2-x+1}-1\right)$$\iff (x-1)(x^2-4x+10)$$=\frac{6x(x-1)}{\sqrt[3]{(x^2-x+1{)}^2}+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}$

Vậy suy ra $x=1$ hoặc :

$$x^2-4x+10=\frac{6x}{\sqrt[3]{(x^2-x+1{)}^2}+\sqrt[3]{x^2-x+1}+1}(2)$$

Ta sẽ chứng minh $(2)$ vô nghiệm. Thật vậy, từ $(2)$ suy ra $x>1$. Tuy nhiên từ đề bài, ta có :

$x^3-5x^2+14x-4$$=6\sqrt[3]{x^2-x+1}$$\le 2\left(1+1+x^2-x+1\right)$$=2(x^2-x+3)$$\iff x$$\le 1$

Vậy $(2)$ vô nghiệm. Suy ra nghiệm của $f(x)$ là $x=1$. Lập bảng xét dấu ta được tập nghiệm của bất phương trình :

$$S=\left(0,1\right)$$