Phương trình – Hệ phương trình Đại học 8

Bài toán (Thầy Trần Văn Toàn)

Giải phương trình :

$$\frac{18}{\sqrt{x+2}+3}-\frac{3}{\sqrt{3x+4}+5}+x^3+2x^2+3x-2=0$$

Lời giải :

Phương trình đã cho tương đương :

$\left(\frac{18}{\sqrt{x+2}+3}-\frac{9}{2}\right)-\left(\frac{3}{\sqrt{3x+4}+5}-\frac{1}{2}\right)+(x^3+2x^2+3x+2)$$=0$

$\iff \frac{9\left(1-\sqrt{x+2}\right)}{2\left(\sqrt{x+2}+3\right)}-\frac{1-\sqrt{3x+4}}{2\left(\sqrt{3x+4}+5\right)}+(x+1)(x^2+x+2)$$=0$

$\iff \frac{-9(x+1)}{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)}+\frac{3(x+1)}{2\left(1+\sqrt{3x+4}\right).\left(5+\sqrt{3x+4}\right)}+(x+1)(x^2+x+2)$$=0$

Rõ ràng $x=-1$ là nghiệm của phương trình, xét $x\ne -1$ thì suy ra :

$\frac{-9}{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)}+\frac{3}{2\left(1+\sqrt{3x+4}\right).\left(5+\sqrt{3x+4}\right)}+x^2+x+2$$=0$

Ta sẽ chứng minh phương trình này vô nghiệm bằng cách chỉ ra :

$\frac{-9}{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)}+x^2+x+2$$>0$$\iff 2(x^2+x+2)\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)$$>9$

Điều này luôn đúng vì :

$2(x^2+x+2)\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)$$=2\left[{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}\right]\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)$$>2.\frac{7}{4}.3.1$$=\frac{21}{2}$$>9$

Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1$