Tuyển tập Hệ phương trình113 bài

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Hưng Yên, Hưng Yên)

Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}x-y-3=2\sqrt{x^2+3}-2\sqrt{y^2+6y+12}\\ (2x-5)\sqrt{x+2}+(2y+7)\sqrt{1-y}+\sqrt{xy+2x-y-2}=|y+2|+4x-4\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện : $\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ y\le 1\\ xy+2x-y-2=(x-1)(y+2)\ge 0\end{array}$

Đặt $t=y+3$. Phương trình đầu viết thành :

$x-t$$=2\sqrt{x^2+3}-2\sqrt{t^2+3}$$\iff x-t$$=\frac{2(x^2-t^2)}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}}$$\iff x-t$$=0\vee \sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}$$=2(x+t)$

Trước tiên ta xét :

$$\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}=2(x+t)$$

Xét hai trường hợp :

• Nếu $x\ge 1$ và $y\ge -2$.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$4(x+t{)}^2$$={\left(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}\right)}^2$$\le 2(x^2+t^2+6)$$\iff x^2+t^2+4xt$$\le 6$

Dễ dàng suy ra được $xt\le 1$ hay $x(y+3)\le 1$.

Nhưng điều này là không thể vì khi đó :

$$(x-1)(y+2)=xy+2x-y-2=(xy+3x)-5x-(y+2)\le 1-5.1-0=-4<0$$

• Nếu $x\le 1$ và $y\le -2$.

Khi đó thì $x\le 1$ và $t=y+3\le 1$. Dễ dàng thấy $\sqrt{x^2+3}\ge 2x,\sqrt{t^2+3}\ge 2t$. Từ đó :

$$\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}\ge 2(x+t)$$

Và cũng dễ thấy đẳng thức không thể xảy ra.

Vậy ta còn lại trường hợp duy nhất $x=t$ hay $x=y+3$. Thay vào phương trình sau :

$$(2y+1)\sqrt{y+5}+(2y+7)\sqrt{1-y}=4y+8$$

Đặt $\{\begin{array}{c}\sqrt{y+5}=a\\ \sqrt{1-y}=b\end{array}$ thì $2y+1=2a^2-9$ và $2y+7=9-2b^2$.

Chú ý cũng có $a^2+b^2=6$. Ta có hệ :

$$\{\begin{array}{c}{a}^2+b^2=6\\ (2a^2-9)a+(9-2b^2)b=4a^2-12\end{array}$$

Từ đây ta suy ra :

$(2a^2-9)a+(9-2b^2)b$$=4a^2-2(a^2+b^2)$$\iff (2a^3-2b^3)-9(a-b)$$=2(a^2-b^2)$$\iff (a-b)(2a^2+2ab+2b^2-9-2a-2b)$$=0$

Nếu $a=b$ thì $a=b=\sqrt{3}$. Từ đây có $y=-2$.

Nếu $2a^2+2b^2+2ab=9+2(a+b)$. Kết hợp với $a^2+b^2=6$. Ta có :

$6+(a+b{)}^2$$=9+2(a+b)$$\iff a+b$$=3$$\iff \sqrt{y+5}+\sqrt{1-y}$$=3$$\iff y$$=\frac{-4\pm 3\sqrt{3}}{2}$

Nghiệm của hệ phương trình :

$(x,y)$$=(1,-2),\left(\frac{2+3\sqrt{3}}{2},\frac{-4+3\sqrt{3}}{2}\right),\left(\frac{2-3\sqrt{3}}{2},\frac{-4-3\sqrt{3}}{2}\right)$

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai)

Giải phương trình :

$$(x+2)\left(\sqrt{1+x+x^2}-1\right)+\frac{4x^2+6x+2}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}=0$$

Lời giải :

Phương trình đã cho tương đương với :

$$(x+2).\frac{x(x+1)}{1+\sqrt{1+x+x^2}}+\frac{2(2x+1)(x+1)}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}=0$$

$\iff (x+1).\left[\frac{x(x+2)}{1+\sqrt{1+x+x^2}}+\frac{4x+2}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}\right]$$=0$

Suy ra $x=-1$ là một nghiệm của phương trình. Ta xét phần còn lại :

$\frac{x(x+2)}{1+\sqrt{1+x+x^2}}+\frac{4x+2}{2+\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}}$$=0$$\iff 2(x^2+4x+1)+(x^2+2x)\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+(4x+2)\sqrt{1+x+x^2}$$=0$

Đưa vào những lượng liên hợp :

$2(x^2+4x+1)+(x^2+2x)\left(\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+x\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+(4x+2)\left(\sqrt{1+x+x^2}+\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\sqrt{2}(x-1)(x^2+2x)-\frac{(x-1)(4x+2)}{\sqrt{2}}$$=0$

$\iff (x^2+4x+1)\left[2-\sqrt{2}(x-1)\right]+\frac{(x^2+2x)(x^2+1)(x^2+4x+1)}{\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+\sqrt{2}-x\sqrt{2}}+(4x+2).\frac{x^2+4x+1}{2\left(\sqrt{1+x+x^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}$$=0$

Tới đây ta suy ra :

$$x^2+4x+1=0\iff x=-2\pm \sqrt{3}$$

Và đây là những nghiệm của phương trình đã cho.

Ta xét tiếp phần còn lại :

$\frac{(x^2+2x)(x^2+1)}{\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+\sqrt{2}-x\sqrt{2}}+\frac{2x+1}{\sqrt{1+x+x^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}}+2+\sqrt{2}-x\sqrt{2}$$=0(\ast )$

Ta sẽ chứng minh $(\ast )$ vô nghiệm bằng cách chỉ ra $VT(\ast )>0$.

Từ phương trình đã cho ta suy ra được $x<0$. Do đó nếu ta chỉ ra được hai kết quả sau thì ta hoàn tất bài toán :

• $$\frac{((x^2+2x)(x^2+1))}{\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+\sqrt{2}-x\sqrt{2}}+2>0(1)$$

Biến đổi tương đương thành :

$(x^2+2x)(x^2+1)+2\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}+2\sqrt{2}-2x\sqrt{2}$$>0$$\iff x^4+2x^3+x^2+(2-2\sqrt{2})x+2\sqrt{2}+2\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+3}$$>0$

Xét hàm số $f(x)=x^4+2x^3+x^2+(2-2\sqrt{2})x+2\sqrt{2},x<0$

$$f^{\prime }(x)=4x^3+6x^2+2x+2-2\sqrt{2}$$

Dễ chứng minh được $f^{\prime }(x)$ chỉ có nghiệm duy nhất  $x_0\in (0,1)$. Từ đó $f^{\prime }(x)<0$ với $x<0$. Tức $f$ nghịch biến trên $\left(-\infty ,0\right)$. Suy ra $f(x)>f(0)=2\sqrt{2}>0$. Từ đó $(1)$ là đúng.

• $$\frac{2x+1}{\sqrt{1+x+x^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}}+\sqrt{2}>0(2)$$

Biến đổi tương đương thành :

$$x+2+\sqrt{2+2x+2x^2}>0$$

Đặt $g(x)=x+2+\sqrt{2+2x+2x^2}$, bằng một vài phép toán đơn giản, ta chỉ ra được $g(x)$ vô nghiệm. Từ đó $g(x)$ chỉ mang một dấu trên toàn tập số thực. Kiểm tra được $g(x)>0$ với mọi $x$.

Tóm lại $(2)$ cũng được chứng minh.

Tập nghiệm của phương trình đã cho :

$$S=\left\{-1,-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}\right\}$$

Bài toán (Thầy Trần Văn Toàn)

Giải phương trình :

$$\frac{18}{\sqrt{x+2}+3}-\frac{3}{\sqrt{3x+4}+5}+x^3+2x^2+3x-2=0$$

Lời giải :

Phương trình đã cho tương đương :

$\left(\frac{18}{\sqrt{x+2}+3}-\frac{9}{2}\right)-\left(\frac{3}{\sqrt{3x+4}+5}-\frac{1}{2}\right)+(x^3+2x^2+3x+2)$$=0$

$\iff \frac{9\left(1-\sqrt{x+2}\right)}{2\left(\sqrt{x+2}+3\right)}-\frac{1-\sqrt{3x+4}}{2\left(\sqrt{3x+4}+5\right)}+(x+1)(x^2+x+2)$$=0$

$\iff \frac{-9(x+1)}{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)}+\frac{3(x+1)}{2\left(1+\sqrt{3x+4}\right).\left(5+\sqrt{3x+4}\right)}+(x+1)(x^2+x+2)$$=0$

Rõ ràng $x=-1$ là nghiệm của phương trình, xét $x\ne -1$ thì suy ra :

$\frac{-9}{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)}+\frac{3}{2\left(1+\sqrt{3x+4}\right).\left(5+\sqrt{3x+4}\right)}+x^2+x+2$$=0$

Ta sẽ chứng minh phương trình này vô nghiệm bằng cách chỉ ra :

$\frac{-9}{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)}+x^2+x+2$$>0$$\iff 2(x^2+x+2)\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)$$>9$

Điều này luôn đúng vì :

$2(x^2+x+2)\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)$$=2\left[{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}\right]\left(\sqrt{x+1}+3\right)\left(1+\sqrt{x+2}\right)$$>2.\frac{7}{4}.3.1$$=\frac{21}{2}$$>9$

Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1$

PTHPTĐH1 : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{ccc}2(x^3-y^3)+xy(y-4x)=2y-x& & \\ \sqrt{4x^2+x+6}+4y=1+5\sqrt{1+2y}& & \end{array}$

Lời giải :

Điều kiện : $\{\begin{array}{ccc}4x^2+x+6\ge 0& & \\ 1+2y\ge 0& & \end{array}$

Phương trình đầu của hệ được phân tích thành :

$$2x^2(x-2y)+y^2(x-2y)=2y-x\iff (x-2y)(2x^2+y^2+1)=0\iff x=2y$$

Thay vào phương trình sau :

$$\sqrt{4x^2+x+6}+2x=1+5\sqrt{1+x}(\ast )$$

$\iff \sqrt{4x^2+x+6}+2x-1$$=5\sqrt{1+x}$$\iff \frac{(4x^2+x+6)-(2x-1{)}^2}{\sqrt{4x^2+x+6}-2x+1}$$=5\sqrt{1+x}$$\iff \frac{5(x+1)}{\sqrt{4x^2+x+5}-2x+1}$$=5\sqrt{1+x}$

$$\iff \sqrt{1+x}\left(\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{4x^2+x+6}-2x+1}-1\right)=0$$

Nhận thấy nếu $x=-1$ thì ta được $y=-1/2$. Còn nếu :

$$\sqrt{4x^2+x+6}-2x+1=\sqrt{1+x}$$

Kết hợp với $(\ast )$, suy ra :

$2x-1+\sqrt{1+x}$$=1-2x+5\sqrt{1+x}$$\iff 2\sqrt{1+x}$$=2x-1$$\iff x$$=\frac{2+\sqrt{7}}{2}$

Nghiệm của hệ là :

$(x,y)$$=\left(-1,\frac{-1}{2}\right),\left(\frac{2+\sqrt{7}}{2},\frac{2+\sqrt{7}}{4}\right)$

Bài toán (Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 418)

Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{xy+(x-y)\left(\sqrt{xy}-2\right)}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\\ (x+1)\left[y+\sqrt{xy}+x(1-x)\right]=4\end{array}$$

Lời giải :

Ta viết phương trình đầu dưới dạng :

$\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)}-y$$=\sqrt{y}-\sqrt{x}$$\iff \frac{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)-y^2}{\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)}+y}$$=\frac{y-x}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}$$\iff \left(x-y\right)\left(\frac{y+\sqrt{xy}-2}{\sqrt{xy+(x-y)\left(\sqrt{xy}-2\right)}+y}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\right)$$=0(\ast )$

Từ phương trình sau ta được :

$$y+\sqrt{xy}-2=\frac{4}{x+1}+x^2-x-2=\frac{x^3-x+4}{x+1}-2=\frac{x^3-3x+2}{x+1}>0$$

Kết hợp vào $(\ast )$ ta được $x=y$.

Dễ dàng tìm được nghiệm của hệ là :

$$(x,y)=(1,1),\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2},\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)$$

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định)

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\sqrt{x+2y}+\sqrt{2x-y}+x^{2}y=\sqrt{x}+\sqrt{3y}+y^{2}x\\ 2(1-y)\sqrt{x^2+2y-1}=y^2-2x-1\end{array}$

Lời giải :

Biến đổi phương trình đầu thành :

$\left(\sqrt{x+2y}-\sqrt{3y}\right)+\left(\sqrt{2x-y}-\sqrt{x}\right)+xy(x-y)$$=0$$\iff \left(x-y\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y}}+\frac{1}{\sqrt{2x-y}+\sqrt{x}}+xy\right)$$=0$$\iff x$$=y$

Thay vào phương trình sau được :

$$2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$$

Giải tiếp như bài này.

Kết luận : Nghiệm của hệ là $(x,y)=\left(-1+\sqrt{6},-1+\sqrt{6}\right)$

Bài toán : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}^3(4y^2+1)+2(x^2+1)\sqrt{x}=6\\ x^{2}y(2+2\sqrt{4y^2+1})=x+\sqrt{x^2+1}\end{array}$

Lời giải :

Đặt $2y=t$ ta được hệ

$$\{\begin{array}{c}{x}^3(t^2+1)+2(x^2+1)\sqrt{x}=6(1)\\ x^2(t+t\sqrt{t^2+1})=x+\sqrt{x^2+1}(2)\end{array}$$

Nhận xét $(0,y)$ không là nghiệm của hệ. Xét $x\ne 0$. Chia hai vế của $(2)$ cho $x^2\ne 0$, ta được :

$$t+t\sqrt{t^2+1}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}$$

Đặt $k=\frac{1}{x}$, dễ dàng thấy rằng $k,t>0$.

Khi đó ta thu được :

 $t+t\sqrt{t^2+1}$$=k+k\sqrt{k^2+1}$$\iff (t-k)+\frac{t^2(t^2+1)-k^2(k^2+1)}{t\sqrt{t^2+1}+k\sqrt{k^2+1}}$$=0$$\iff (t-k)\left(\frac{(t+k)(t^2+k^2+1)}{t\sqrt{t^2+1}+k\sqrt{k^2+1}}+1\right)$$=0$

Chú ý vì $k,t>0$ ta được $\frac{(t+k)(t^2+k^2+1)}{t\sqrt{t^2+1}+k\sqrt{k^2+1}}+1>0$ nên phải có $k=t$

Tức là $\frac{1}{x}=t\iff xt=1$

Thay vào $(1)$ thì được : $x+x^3+2(x^2+1)\sqrt{x}=6$

Đặt $\sqrt{x}=a>0$ thì được :

$$a^6+2a^5+a^2+2a=6$$

Nếu $a>1$ thì $a^6+2a^5+a^2+2a>6$. Nếu $0<a<1$ thì $a^6+2a^5+a^2+2a<6$. Do vậy $a=1$.

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\left(x,y\right)=\left(1,\frac{1}{2}\right)$