Phương trình – Hệ phương trình Đại học 11

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Hưng Yên, Hưng Yên)

Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}x-y-3=2\sqrt{x^2+3}-2\sqrt{y^2+6y+12}\\ (2x-5)\sqrt{x+2}+(2y+7)\sqrt{1-y}+\sqrt{xy+2x-y-2}=|y+2|+4x-4\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện : $\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ y\le 1\\ xy+2x-y-2=(x-1)(y+2)\ge 0\end{array}$

Đặt $t=y+3$. Phương trình đầu viết thành :

$x-t$$=2\sqrt{x^2+3}-2\sqrt{t^2+3}$$\iff x-t$$=\frac{2(x^2-t^2)}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}}$$\iff x-t$$=0\vee \sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}$$=2(x+t)$

Trước tiên ta xét :

$$\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}=2(x+t)$$

Xét hai trường hợp :

• Nếu $x\ge 1$ và $y\ge -2$.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$4(x+t{)}^2$$={\left(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}\right)}^2$$\le 2(x^2+t^2+6)$$\iff x^2+t^2+4xt$$\le 6$

Dễ dàng suy ra được $xt\le 1$ hay $x(y+3)\le 1$.

Nhưng điều này là không thể vì khi đó :

$$(x-1)(y+2)=xy+2x-y-2=(xy+3x)-5x-(y+2)\le 1-5.1-0=-4<0$$

• Nếu $x\le 1$ và $y\le -2$.

Khi đó thì $x\le 1$ và $t=y+3\le 1$. Dễ dàng thấy $\sqrt{x^2+3}\ge 2x,\sqrt{t^2+3}\ge 2t$. Từ đó :

$$\sqrt{x^2+3}+\sqrt{t^2+3}\ge 2(x+t)$$

Và cũng dễ thấy đẳng thức không thể xảy ra.

Vậy ta còn lại trường hợp duy nhất $x=t$ hay $x=y+3$. Thay vào phương trình sau :

$$(2y+1)\sqrt{y+5}+(2y+7)\sqrt{1-y}=4y+8$$

Đặt $\{\begin{array}{c}\sqrt{y+5}=a\\ \sqrt{1-y}=b\end{array}$ thì $2y+1=2a^2-9$ và $2y+7=9-2b^2$.

Chú ý cũng có $a^2+b^2=6$. Ta có hệ :

$$\{\begin{array}{c}{a}^2+b^2=6\\ (2a^2-9)a+(9-2b^2)b=4a^2-12\end{array}$$

Từ đây ta suy ra :

$(2a^2-9)a+(9-2b^2)b$$=4a^2-2(a^2+b^2)$$\iff (2a^3-2b^3)-9(a-b)$$=2(a^2-b^2)$$\iff (a-b)(2a^2+2ab+2b^2-9-2a-2b)$$=0$

Nếu $a=b$ thì $a=b=\sqrt{3}$. Từ đây có $y=-2$.

Nếu $2a^2+2b^2+2ab=9+2(a+b)$. Kết hợp với $a^2+b^2=6$. Ta có :

$6+(a+b{)}^2$$=9+2(a+b)$$\iff a+b$$=3$$\iff \sqrt{y+5}+\sqrt{1-y}$$=3$$\iff y$$=\frac{-4\pm 3\sqrt{3}}{2}$

Nghiệm của hệ phương trình :

$(x,y)$$=(1,-2),\left(\frac{2+3\sqrt{3}}{2},\frac{-4+3\sqrt{3}}{2}\right),\left(\frac{2-3\sqrt{3}}{2},\frac{-4-3\sqrt{3}}{2}\right)$