Tuyển tập Số học211 bài

Bài toán (Turkey TST 2013)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

$$m^6=n^{n+1}+n-1$$

Lời giải :

Xét $n=1$ ta được $m=1$.

Xét $n>1$. Nếu $n+1$ chia hết cho $3$ thì từ phương trình, ta có :

$m^6$$=n^{n+1}+n-1$$=n^{n+1}$$\Rightarrow m^2$$\ge n^{\frac{n+1}{3}}$$\Rightarrow m^2$$\ge n^{\frac{n+1}{3}}+1$$\Rightarrow m^6$$\ge n^{n+1}+3n^{\frac{2n+2}{3}}+3^{\frac{n+1}{3}}+1$$\Rightarrow n^{n+1}+n-1$$\ge n^{n+1}+3n^{\frac{2n+2}{3}}+3^{\frac{n+1}{3}}+1$$\Rightarrow n$$\ge 3n^{\frac{2n+2}{3}}+3^{\frac{n+1}{3}}+2$

Đây là điều vô lí.

Do đó $n+1$ không chia hết cho $3$. Nếu $n+1\equiv 1(mod3)\Rightarrow 3\mid n$, kéo theo $m^6\equiv -1(mod3)$, vô lí. Do vậy phải có $n+1\equiv -1(mod3)$.

Do đó tồn tại ước nguyên tố $p$ của $n+1$ mà $p\equiv -1(mod3)$.

Hoàn toàn tương tự như trên, khi xét $n+1$ chia hết cho $2$ ta cũng gặp điều vô lí, dẫn đến $n+1$ lẻ.

Chú ý $n+1$ lẻ, từ phương trình :

$$m^6+3=n^{n+1}+1+(n+1)⋮n+1⋮p$$

Suy ra

$m^6$$\equiv -3(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{-3}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right)$$=1$

Theo định lí tiêu chuẩn $Euler$ ta có :

$$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$

Theo luật tương hỗ $Gauss$ ta có :

$\left(\frac{p}{3}\right)\left(\frac{3}{p}\right)$$=(-1{)}^{\frac{(p-1)(3-1)}{4}}$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$\Rightarrow \left(\frac{3}{p}\right)$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.\left(\frac{p}{3}\right)$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.\left(\frac{-1}{3}\right)$$=-1.(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$

Từ hai kết quả này, ta suy ra :

$\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right)$$=-1.(-1{)}^{p-1}$$=-1$$\iff \left(\frac{-3}{p}\right)$$=-1$

Mâu thuẫn vì ở trên ta chứng minh được $-3$ là số chính phương $modp$.

Kết luận : Phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất $\boxed{(m,n)=(1,1)}$

Bài toán : 

a) Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $y^2-5\mid x^2+1$

b) Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $2y^2+3\mid x^2-2$

Lời giải :

a) Gọi $p$ là ước nguyên tố của $y^2-5$.

Ta có

$p\mid x^2+1$$\Rightarrow x^2$$\equiv -1(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$=1$$\Rightarrow p$$\equiv 1(mod4)$

Do đó ta có $y^2-5\equiv 1(mod4)\Rightarrow y^2\equiv 6\equiv 2(mod4)$, vô lí.

Kết luận : không tồn tại các số nguyên dương $x,y$ thỏa đề.

b) Gọi $p$ là ước nguyên tố của $2y^2+3$.

Ta có

$p\mid x^2-2$$\Rightarrow x^2$$\equiv 2(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{2}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow {\left(-1\right)}^{\frac{p^2-1}{8}}$$=1$$\Rightarrow 2\mid \frac{p^2-1}{8}$$\Rightarrow p$$\equiv \pm 1(mod8)$

Kéo theo

$$2y^2+3\equiv \pm 1(mod8)$$

Và đây là điều mâu thuẫn vì $y^2\equiv 0,1,4(mod8)\Rightarrow 2y^2+3\equiv 3,5(mod8)$

Kết luận : Không tồn tại các số nguyên dương $x,y$ thỏa đề.

Bài toán (Việt Nam TST 2004)

Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $2^n+1$ không có ước nguyên tố dạng $8k+7$.

Lời giải :

Gọi $p$ là ước nguyên tố của $2^n+1$. Gỉa sử $p\equiv 7(mod8)$

Nếu $n$ chẵn ta có

$2^n$$\equiv -1(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$=1$$\Rightarrow 2\mid \frac{p-1}{2}$$\Rightarrow p$$\equiv 1(mod4)$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng $p\equiv 7(mod8)$

Nếu $n$ lẻ thì ta có

$2^{n+1}$$\equiv -2(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{-2}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$$=1(1)$

Nhưng vì $p\equiv 7(mod8)\Rightarrow \{\begin{array}{c}(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}=-1\\ (-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}=1\end{array}$

Kéo theo $(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}=-1$, mâu thuẫn với $(1)$.

Như vậy giả thiết phản chứng sai, ta có điều phải chứng minh.

Bài toán : Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh 

$$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$$

Lời giải :

Gọi $s$ là số thặng dư dương nhỏ nhất lớn hơn $\frac{p}{2}$ của tập $S=\left\{1.2,2.2,3.2,...,\frac{p-1}{2}.2\right\}$. Theo bổ đề $Gauss$ thì :

$$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^s$$

Vì các phần tử của $S$ đều nhỏ hơn $p$ nên khi xét theo modulo $p$ thì các phần tử của $S$ cũng chính là các thặng dư dương nhỏ nhất. Như vậy số thặng dư dương nhỏ nhất lớn hơn $\frac{p}{2}$ của $S$ chính bằng số phần tử lớn hơn $\frac{p}{2}$ của $S$.

Một số chẵn $2j,1\le j\le \frac{p-1}{2}$ thì $2j>\frac{p}{2}$ khi $j>\frac{p}{4}$

Như vậy ta có $\frac{p}{4}<j\le \frac{p-1}{2}$, dẫn đến $s=\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor$.

Vậy ta chỉ cần chỉ ra rằng $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor \equiv \frac{p^2-1}{8}(mod2)$ thì bài toán được giải quyết.

Thật vậy, xét các trường hợp :

Nếu $p=8k+1$ thì $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor =4k-\lfloor \frac{8k+1}{4}\rfloor =2k\equiv 0\equiv \frac{(8k+1{)}^2-1}{8}(mod2)$

Nếu $p=8k+3$ thì $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor =4k+1-\lfloor \frac{8k+3}{4}\rfloor =(4k+1)-2k=2k+1\equiv 1\equiv \frac{(8k+3{)}^2-1}{8}(mod2)$

Nếu $p=8k+5$ thì $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor =4k+2-\lfloor \frac{8k+5}{4}\rfloor =(4k+2)-(2k+1)=2k+1\equiv 1\equiv \frac{(8k+5{)}^2-1}{8}(mod2)$

Nếu $p=8k+7$ thì $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor =4k+3-\lfloor \frac{8k+7}{4}\rfloor =(4k+3)-(2k+1)=2k+2\equiv 0\equiv \frac{(8k+7{)}^2-1}{8}(mod2)$

Bài toán được giải quyết hoàn toàn.

 

Chú ý : Đây là một định lí quan trọng sẽ được áp dụng nhiều vào những bài tập về số chính phương mod p.

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon Tum)

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$. Chứng minh rằng $u-1$ chia hết cho $3$.

Lời giải :

Ta gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ của $3^n+1$, ta có :

$$3^n+1\equiv 0(modp)\Rightarrow 3^{n+1}\equiv -3(modp)$$

Vì $n$ lẻ nên $n+1$ chẵn, từ đó $-3$ là số chính phương modulo $p$ : $\left(\frac{-3}{p}\right)=1(\ast \ast )$

Theo định lí tiêu chuẩn $Euler$ ta có :

$\left(\frac{-3}{p}\right)$$=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right)$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.\left(\frac{3}{p}\right)(1)$

Theo luật tương hỗ $Gauss$ :

$\left(\frac{3}{p}\right)\left(\frac{p}{3}\right)$$=(-1{)}^{\frac{(3-1)(p-1)}{4}}$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$\Rightarrow \left(\frac{3}{p}\right)$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.\left(\frac{p}{3}\right)(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra :

$$\left(\frac{-3}{p}\right)=(-1{)}^{p-1}.\left(\frac{p}{3}\right)$$

Nếu $p\equiv 2(mod3)\Rightarrow \left(\frac{p}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)=2^{\frac{3-1}{2}}\equiv -1(mod3)$

Kéo theo $\left(\frac{-3}{p}\right)=-1$, mâu thuẫn $(\ast \ast )$.

Mặt khác cũng dễ thấy $p\ne 3$, do vậy $p\equiv 1(mod3)\Rightarrow 3\mid u-1$.

Ta có điều phải chứng minh.