Number Theory

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon Tum)

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$. Chứng minh rằng $u-1$ chia hết cho $3$.

Lời giải :

Ta gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ của $3^n+1$, ta có :

$$3^n+1\equiv 0(modp)\Rightarrow 3^{n+1}\equiv -3(modp)$$

Vì $n$ lẻ nên $n+1$ chẵn, từ đó $-3$ là số chính phương modulo $p$ : $\left(\frac{-3}{p}\right)=1(\ast \ast )$

Theo định lí tiêu chuẩn $Euler$ ta có :

$\left(\frac{-3}{p}\right)$$=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right)$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.\left(\frac{3}{p}\right)(1)$

Theo luật tương hỗ $Gauss$ :

$\left(\frac{3}{p}\right)\left(\frac{p}{3}\right)$$=(-1{)}^{\frac{(3-1)(p-1)}{4}}$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$\Rightarrow \left(\frac{3}{p}\right)$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.\left(\frac{p}{3}\right)(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra :

$$\left(\frac{-3}{p}\right)=(-1{)}^{p-1}.\left(\frac{p}{3}\right)$$

Nếu $p\equiv 2(mod3)\Rightarrow \left(\frac{p}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)=2^{\frac{3-1}{2}}\equiv -1(mod3)$

Kéo theo $\left(\frac{-3}{p}\right)=-1$, mâu thuẫn $(\ast \ast )$.

Mặt khác cũng dễ thấy $p\ne 3$, do vậy $p\equiv 1(mod3)\Rightarrow 3\mid u-1$.

Ta có điều phải chứng minh.