Number Theory

Bài toán : 

a) Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $y^2-5\mid x^2+1$

b) Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $2y^2+3\mid x^2-2$

Lời giải :

a) Gọi $p$ là ước nguyên tố của $y^2-5$.

Ta có

$p\mid x^2+1$$\Rightarrow x^2$$\equiv -1(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$=1$$\Rightarrow p$$\equiv 1(mod4)$

Do đó ta có $y^2-5\equiv 1(mod4)\Rightarrow y^2\equiv 6\equiv 2(mod4)$, vô lí.

Kết luận : không tồn tại các số nguyên dương $x,y$ thỏa đề.

b) Gọi $p$ là ước nguyên tố của $2y^2+3$.

Ta có

$p\mid x^2-2$$\Rightarrow x^2$$\equiv 2(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{2}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow {\left(-1\right)}^{\frac{p^2-1}{8}}$$=1$$\Rightarrow 2\mid \frac{p^2-1}{8}$$\Rightarrow p$$\equiv \pm 1(mod8)$

Kéo theo

$$2y^2+3\equiv \pm 1(mod8)$$

Và đây là điều mâu thuẫn vì $y^2\equiv 0,1,4(mod8)\Rightarrow 2y^2+3\equiv 3,5(mod8)$

Kết luận : Không tồn tại các số nguyên dương $x,y$ thỏa đề.