Number Theory

Bài toán (Việt Nam TST 2004)

Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $2^n+1$ không có ước nguyên tố dạng $8k+7$.

Lời giải :

Gọi $p$ là ước nguyên tố của $2^n+1$. Gỉa sử $p\equiv 7(mod8)$

Nếu $n$ chẵn ta có

$2^n$$\equiv -1(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$=1$$\Rightarrow 2\mid \frac{p-1}{2}$$\Rightarrow p$$\equiv 1(mod4)$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng $p\equiv 7(mod8)$

Nếu $n$ lẻ thì ta có

$2^{n+1}$$\equiv -2(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{-2}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$$=1(1)$

Nhưng vì $p\equiv 7(mod8)\Rightarrow \{\begin{array}{c}(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}=-1\\ (-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}=1\end{array}$

Kéo theo $(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}=-1$, mâu thuẫn với $(1)$.

Như vậy giả thiết phản chứng sai, ta có điều phải chứng minh.