Number Theory

Bài toán : Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh 

$$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$$

Lời giải :

Gọi $s$ là số thặng dư dương nhỏ nhất lớn hơn $\frac{p}{2}$ của tập $S=\left\{1.2,2.2,3.2,...,\frac{p-1}{2}.2\right\}$. Theo bổ đề $Gauss$ thì :

$$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^s$$

Vì các phần tử của $S$ đều nhỏ hơn $p$ nên khi xét theo modulo $p$ thì các phần tử của $S$ cũng chính là các thặng dư dương nhỏ nhất. Như vậy số thặng dư dương nhỏ nhất lớn hơn $\frac{p}{2}$ của $S$ chính bằng số phần tử lớn hơn $\frac{p}{2}$ của $S$.

Một số chẵn $2j,1\le j\le \frac{p-1}{2}$ thì $2j>\frac{p}{2}$ khi $j>\frac{p}{4}$

Như vậy ta có $\frac{p}{4}<j\le \frac{p-1}{2}$, dẫn đến $s=\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor$.

Vậy ta chỉ cần chỉ ra rằng $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor \equiv \frac{p^2-1}{8}(mod2)$ thì bài toán được giải quyết.

Thật vậy, xét các trường hợp :

Nếu $p=8k+1$ thì $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor =4k-\lfloor \frac{8k+1}{4}\rfloor =2k\equiv 0\equiv \frac{(8k+1{)}^2-1}{8}(mod2)$

Nếu $p=8k+3$ thì $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor =4k+1-\lfloor \frac{8k+3}{4}\rfloor =(4k+1)-2k=2k+1\equiv 1\equiv \frac{(8k+3{)}^2-1}{8}(mod2)$

Nếu $p=8k+5$ thì $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor =4k+2-\lfloor \frac{8k+5}{4}\rfloor =(4k+2)-(2k+1)=2k+1\equiv 1\equiv \frac{(8k+5{)}^2-1}{8}(mod2)$

Nếu $p=8k+7$ thì $\frac{p-1}{2}-\lfloor \frac{p}{4}\rfloor =4k+3-\lfloor \frac{8k+7}{4}\rfloor =(4k+3)-(2k+1)=2k+2\equiv 0\equiv \frac{(8k+7{)}^2-1}{8}(mod2)$

Bài toán được giải quyết hoàn toàn.

 

Chú ý : Đây là một định lí quan trọng sẽ được áp dụng nhiều vào những bài tập về số chính phương mod p.