Tuyển tập Bất đẳng thức258 bài

Bài toán : Cho các số dương $a,b$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

 $$P=\frac{a}{1+2b^3}+\frac{b}{1+2c^3}+\frac{c}{1+2a^3}$$

Lời giải :

Ta sẽ sử dụng kĩ thuật $AM-GM$ ngược dấu để giải quyết bài toán.

Ta có : $\frac{a}{1+2b^3}=\frac{a(1+2b^3)-2a{b}^3}{1+2b^3}=a-\frac{2a{b}^3}{b^3+b^3+1}\ge a-\frac{2a{b}^3}{3b^2}=a-\frac{2ab}{3}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo từng vế, ta được :

$$P\ge (a+b+c)-\frac{2}{3}(ab+bc+ca)\ge \sqrt{3(ab+bc+ca)}-\frac{2}{3}(ab+bc+ca)=1$$

Kết luận : $MinP=1\iff a=b=c=1$