Tuyển tập Tam thức bậc hai4 bài

BĐTĐH5 : Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $a\ne 0,b>c>0$ và $\frac{3}{abc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$P=2b-2a-5c$$

Lời giải :

Từ giả thiết ta suy ra $a=\frac{3+bc}{c-b}$. Thay vào biểu thức :

$$P=2b+\frac{2(3+bc)}{b-c}-5c=\frac{2b^2+5c^2-5bc+6}{b-c}$$

Đặt $b-c=t>0$, thay $b=c+t$ ta được :

$$P=\frac{2(c+t{)}^2+5c^2-5c(c+t)+6}{t}=\frac{2c^2+2t^2-ct+6}{t}\iff 2c^2-ct+2t^2-Pt+6=0$$

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn $c$ :

$$\Delta =t^2-8(2t^2-Pt+6)=-15t^2-48+8Pt\ge 0\iff P\ge \frac{15t^2+48}{8t}$$

Suy ra rằng :

$$P\ge \frac{15t^2+48}{8t}\ge \frac{2\sqrt{15.48}}{8}=3\sqrt{5}$$

Từ đó giá trị nhỏ nhất của $P$ là $3\sqrt{5}$, đạt được khi $a=-\sqrt{5},b=\sqrt{5},c=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Bài toán : Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=9xy+10yz+11zx$$

Lời giải :

Thay $z=1-x-y$ vào $P$ :

$$P=9xy+z(10y+11x)=9xy+(1-x-y)(10y+11x)=-11x^2-10y^2-xy+11x+10y$$

Hay :

$$11x^{2}x+x(12y-11)+10y^2-10y+P=0$$

Coi đây là một tam thức bậc hai theo ẩn $x$, điều kiện để tồn tại $x$ là :

$\Delta$$=(12y-11{)}^2-44(10y^2-10y+P)$$\ge 0$$\iff P$$\le \frac{-296y^2+176y+121}{44}$$=-\frac{74}{11}\left(y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\right)$

Mặt khác sử dụng phương pháp phân tích bình phương, ta được :

$$y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\ge \frac{-5445}{10952}$$

Ta suy ra :

$$P\le \frac{495}{148}$$

Kết luận : $MaxP=\frac{495}{148}\iff y=11/37,x=25/74,z=27/74$

Bài toán : Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$ và $c+d=3$. Chứng minh rằng :

$$ac+bd+cd\le \frac{9+6\sqrt{2}}{4}$$

Lời giải : 

Thay $d=3-c$ ta viết biểu thức vế trái thành một tam thức bậc hai ẩn $c$ :

$$f(c)=ac+b(3-c)+c(3-c)=-c^2-c(b-a-3)+3b$$

Sử dụng tính chất $f(x)=A{x}^2+Bx+C\le \frac{4AC-B^2}{4A}$ ta được :

$$f(c)\le \frac{-12b-(b-a-3{)}^2}{-4}=\frac{12b+(a-b+3{)}^2}{4}$$

Vậy cần chỉ ra rằng

$\frac{12b+(a-b+3{)}^2}{4}$$\le \frac{9+6\sqrt{2}}{4}$$\iff 12b+(a-b{)}^2+6(a-b)+9$$\le 9+6\sqrt{2}$$\iff (a^2+b^2)+6(a+b)-2ab$$\le 6\sqrt{2}$$\iff 6(a+b)-2ab$$\le 6\sqrt{2}-1$

Mà $2ab=(a+b{)}^2-a^2-b^2=(a+b{)}^2-1$ nên chứng minh :

$$-(a+b{)}^2+6(a+b)+2-6\sqrt{2}\le 0\iff a+b\le \sqrt{2}\vee a+b\ge 6-\sqrt{2}$$

Hiển nhiên vì $a+b\le \sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}$

Ta có điều phải chứng minh.

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Bạc Liêu, tỉnh Bạc Liêu)

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+2y^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :

$$P=\frac{x^2-xy}{x^2+1}$$

Lời giải :

Xét $y=0$ ta được $x=\pm \sqrt{3}$. Thay vào ta được $P=\frac{3}{4}$

Ta có :

$P$$=\frac{3x^2-3xy}{3x^2+3}$$=\frac{3x^2-3xy}{4x^2+2y^2}$$=\frac{3{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-3.\frac{x}{y}}{4{\left(\frac{x}{y}\right)}^2+2}$$=\frac{3t^2-3t}{4t^2+2}$

Ta viết dưới dạng một phương trình bậc hai ẩn $t$ và tham số $P$ :

$$(4P-3)t^2+3t+2P=0$$

Phương trình này có $\Delta =3^2-4(4P-3).2P=-32P^2+24P+9$

Để phương trình này có nghiệm thì $\Delta \ge 0\iff -32P^2+24P+9\ge 0\iff \frac{3-3\sqrt{3}}{8}\le P\le \frac{3+3\sqrt{3}}{8}$

Nhận thấy $\frac{3-3\sqrt{3}}{8}\le \frac{3}{4}$ và $\frac{3+3\sqrt{3}}{8}\ge \frac{3}{4}$

Nên :

$MinP=\frac{3-3\sqrt{3}}{8}\iff t=\frac{x}{y}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},x^2+2y^2=3$, hệ này chắc chắn có nghiệm.

$MaxP=\frac{3+3\sqrt{3}}{8}\iff t=\frac{x}{y}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2},x^2+2y^2=3$, hệ này chắc chắn có nghiệm.