Bất đẳng thức Đại Học 5

BĐTĐH5 : Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $a\ne 0,b>c>0$ và $\frac{3}{abc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$P=2b-2a-5c$$

Lời giải :

Từ giả thiết ta suy ra $a=\frac{3+bc}{c-b}$. Thay vào biểu thức :

$$P=2b+\frac{2(3+bc)}{b-c}-5c=\frac{2b^2+5c^2-5bc+6}{b-c}$$

Đặt $b-c=t>0$, thay $b=c+t$ ta được :

$$P=\frac{2(c+t{)}^2+5c^2-5c(c+t)+6}{t}=\frac{2c^2+2t^2-ct+6}{t}\iff 2c^2-ct+2t^2-Pt+6=0$$

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn $c$ :

$$\Delta =t^2-8(2t^2-Pt+6)=-15t^2-48+8Pt\ge 0\iff P\ge \frac{15t^2+48}{8t}$$

Suy ra rằng :

$$P\ge \frac{15t^2+48}{8t}\ge \frac{2\sqrt{15.48}}{8}=3\sqrt{5}$$

Từ đó giá trị nhỏ nhất của $P$ là $3\sqrt{5}$, đạt được khi $a=-\sqrt{5},b=\sqrt{5},c=\frac{1}{\sqrt{5}}$