Tuyển tập Tổ hợp - Xác suất6 bài

ĐỀ THI OLYMPIAD CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014
Thời gian: 180 phút

NGÀY THỨ NHẤT
Câu I: Tìm tất cả bộ $3$ số $(x,n,p)$ với $x,n\in {\mathbb{Z}}^{+};p\in \mathbb{P}$ thỏa mãn: $x^3+2x=3(p^n-1)$

Câu II: Cho $△ABC$. Trên đoạn $AC$ lấy điểm $P$ và trên đoạn $PC$ lấy điểm $Q$ sao cho $\frac{PA}{PC}=\frac{QP}{QC}$. Đường tròn ngoại tiếp $△ABQ$ cắt $BC$ tại $R\ne B$.
a, CMR: $\widehat{ABP}=\widehat{PRQ}$
b, Gọi $S$ là giao của hai đường tròn ngoại tiếp $△PAB,△PQR$

Câu III: Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$.
CMR: $\sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c{)}^2}\ge \frac{1}{3}$.

NGÀY THỨ HAI
Câu IV: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho:
$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6$

Câu V: $△ABC$ nhọn với $AB<AC$ nội tiếp $(O)$. Đường cao $AD,BE,CF$. Gọi $(\omega )$ là đường tròn tâm $A$ đi qua $D;(\omega )$ cắt $(O)$ tại $M,N$
a, CMR: $MN$ đi qua trung điểm $DE,DF$.
b, Gọi $EF$ cắt $BC$ tại $G$ và $DP$ là đường kính của $(\omega )$, $PG$ cắt $(\omega )$ tại $Q\ne P$. CMR: Trung điểm $DQ$ nằm trên $(O)$.

Câu VI:
Xét $M=\left\{\begin{array}{c}1,2,3,4,...,9,10\end{array}\right\}$ và $A_1,A_2,...,A_n$ là dãy cac tập con khác rỗng và phân biệt của $M$ sao cho $\left|\begin{array}{c}{A}_i\setminus A_j\end{array}\right|\le 3$ với mọi $i\ne j(i,j\in \left\{\begin{array}{c}1,2,...,n\end{array}\right\})$. Tìm GTLN của $n$.

—————–Hết——————

 

Có hai hộp: hộp thứ nhất có 6 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 7 bi xanh và 8 bi đỏ. Từ mỗi hộp lấy ra 2 bi, tính xác suất để được 2 bi xanh và 2 bi đỏ.

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^2$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^n$, biết $3C_{n+1}^3-3A_n^2=52(n-1)$.

Chứng minh rằng với mọi $n\in N$, ta luôn có:

$C_{2n+2}^{n+2}+2C_{2n+2}^{n+3}+3C_{2n+2}^{n+4}+...+\left(n+1\right)C_{2n+2}^{2n+2}$$=\frac{1}{2}\left(n+2\right)C_{2n+2}^n$

Lời giải

$\frac{C_n^k}{C_{n+2+k}^{k+1}}$$=\frac{(n+1)(C_{2n+1}^{n-k}-C_{2n+1}^{n-k-1})}{(n+2)C_{2n+2}^n}$$=\frac{(k+1)C_{2n+2}^{n+k+2}}{(n+2)C_{2n+2}^n}$

Khi đó 

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{(n+2)C_{2n+2}^n}\sum _{k=0}^n(k+1)C_{2n+2}^{n+k+2}=\sum _{k=0}^n\frac{C_n^k}{C_{n+2+k}^{k+1}}\\ \iff & \frac{1}{(n+2)C_{2n+2}^n}\sum _{k=0}^n(k+1)C_{2n+2}^{n+k+2}=\frac{1}{2}\\ \iff & \sum _{k=0}^n(k+1)C_{2n+2}^{n+k+2}=\frac{1}{2}(n+2)C_{2n+2}^n\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi $n\in N$, ta luôn có:

$$\frac{C_n^0}{C_{n+2}^1}+\frac{C_n^1}{C_{n+3}^2}+...+\frac{C_n^n}{C_{2n+2}^{n+1}}=\frac{1}{2}$$

Lời giải

$$\begin{array}{rl}\frac{C_n^k}{C_{n+2+k}^{k+1}}& =\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}.\frac{\left(k+1\right)!\left(n+1\right)!}{\left(n+2+k\right)!}\\ & =\frac{k+1}{n+2}.\frac{n!\left(n+2\right)!}{\left(n-k\right)!\left(n+2+k\right)!}\\ & =\frac{1}{2}\left[\left(n+k+2\right)-(n-k)\right]\frac{\left(2n+2\right)!}{\left(n+k+2\right)!\left(n-k\right)!}.\frac{1}{\left(n+2\right)C_{2n+2}^n}\\ & =\frac{1}{2}\left[\frac{\left(2n+2\right)!}{\left(n+k+1\right)!\left(n-k\right)!}-\frac{\left(2n+2\right)!}{\left(n+k+2\right)!\left(n-k-1\right)!}\right].\frac{1}{\left(n+2\right)C_{2n+2}^n}\\ & =\frac{\left(n+1\right)\left(C_{2n+1}^{n-k}-C_{2n+1}^{n-k-1}\right)}{\left(n+2\right)C_{2n+2}^n}\end{array}$$

Thay $k=0,1,..,n-1$, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{C_n^0}{C_{n+2}^1}=\frac{\left(n+1\right)\left(C_{2n+1}^n-C_{2n+1}^{n-1}\right)}{\left(n+2\right)C_{2n+2}^n} \\ \frac{C_n^1}{C_{n+3}^2}=\frac{\left(n+1\right)\left(C_{2n+1}^{n-1}-C_{2n+1}^{n-2}\right)}{\left(n+2\right)C_{2n+2}^n} \\ .................................................... \\ \frac{C_n^{n-1}}{C_{2n+2}^n}=\frac{\left(n+1\right)\left(C_{2n+1}^1-C_{2n+1}^0\right)}{\left(n+2\right)C_{2n+2}^n} \end{gathered}$$

$$\begin{array}{rl}\Rightarrow \frac{C_n^0}{C_{n+2}^1}+\frac{C_n^1}{C_{n+3}^2}+...+\frac{C_n^{n-1}}{C_{2n+2}^n}+\frac{C_n^n}{C_{2n+2}^{n+1}}& =\frac{\left(n+1\right)\left(C_{2n+1}^n-C_{2n+1}^0\right)}{\left(n+2\right)C_{2n+2}^n}+\frac{C_n^n}{C_{2n+2}^{n+1}}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\left(2n+2\right)\left[\frac{\left(2n+1\right)!}{n!\left(n+2\right)!}-\frac{1}{n+2}\right]}{C_{2n+2}^n}+\frac{\left(n+1\right)!\left(n+1\right)!}{\left(2n+2\right)!}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\frac{\left(2n+2\right)!}{n!\left(n+2\right)!}}{C_{2n+2}^n}-\frac{n+1}{n+2}\frac{n!\left(n+2\right)!}{\left(2n+2\right)!}+\frac{\left(n+1\right)!\left(n+1\right)!}{\left(2n+2\right)!}\\ & =\frac{1}{2}-\frac{\left(n+1\right)!\left(n+1\right)!}{\left(2n+2\right)!}+\frac{\left(n+1\right)!\left(n+1\right)!}{\left(2n+2\right)!}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi $n\in N^{\ast }$, ta luôn có:

$$\frac{1}{(n+2)C_{n+1}^1}+\frac{1}{(n+3)C_{n+2}^2}+...+\frac{1}{(2n+1)C_{2n}^n}<\frac{1}{n(n+1)}$$

Lời giải