Đề thi Olympiad Chuyên Khoa học Tự nhiên 2014

ĐỀ THI OLYMPIAD CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014
Thời gian: 180 phút

NGÀY THỨ NHẤT
Câu I: Tìm tất cả bộ $3$ số $(x,n,p)$ với $x,n\in {\mathbb{Z}}^{+};p\in \mathbb{P}$ thỏa mãn: $x^3+2x=3(p^n-1)$

Câu II: Cho $△ABC$. Trên đoạn $AC$ lấy điểm $P$ và trên đoạn $PC$ lấy điểm $Q$ sao cho $\frac{PA}{PC}=\frac{QP}{QC}$. Đường tròn ngoại tiếp $△ABQ$ cắt $BC$ tại $R\ne B$.
a, CMR: $\widehat{ABP}=\widehat{PRQ}$
b, Gọi $S$ là giao của hai đường tròn ngoại tiếp $△PAB,△PQR$

Câu III: Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$.
CMR: $\sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c{)}^2}\ge \frac{1}{3}$.

NGÀY THỨ HAI
Câu IV: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho:
$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6$

Câu V: $△ABC$ nhọn với $AB<AC$ nội tiếp $(O)$. Đường cao $AD,BE,CF$. Gọi $(\omega )$ là đường tròn tâm $A$ đi qua $D;(\omega )$ cắt $(O)$ tại $M,N$
a, CMR: $MN$ đi qua trung điểm $DE,DF$.
b, Gọi $EF$ cắt $BC$ tại $G$ và $DP$ là đường kính của $(\omega )$, $PG$ cắt $(\omega )$ tại $Q\ne P$. CMR: Trung điểm $DQ$ nằm trên $(O)$.

Câu VI:
Xét $M=\left\{\begin{array}{c}1,2,3,4,...,9,10\end{array}\right\}$ và $A_1,A_2,...,A_n$ là dãy cac tập con khác rỗng và phân biệt của $M$ sao cho $\left|\begin{array}{c}{A}_i\setminus A_j\end{array}\right|\le 3$ với mọi $i\ne j(i,j\in \left\{\begin{array}{c}1,2,...,n\end{array}\right\})$. Tìm GTLN của $n$.

—————–Hết——————