Tuyển tập Ôn thi THPT1 bài

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN 

I. Đổi biến lượng giác :

1. Tích phân có chứa $\sqrt{a^2-x^2}$ ta đặt $x=|a|.sint,t\in \left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ hoặc $x=|a|.cost,t\in \left[0,\pi \right]$.

2. Tích phân có chứa $\sqrt{x^2-a^2}$ ta đặt $x=\frac{|a|}{sint},t\in \left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ hoặc $x=\frac{|a|}{cost},t\in \left[0,\pi \right]$.

3. Tích phân có chứa $\sqrt{a^2+x^2}$ ta đặt $x=|a|.tant,t\in \left(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ hoặc $x=|a|.cott,t\in \left(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

4. Tích phân có chứa $\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$ hoặc $\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$ ta đặt $x=a.cos2t$

5. Tích phân có chứa $\sqrt{(x-a)(x-b)}$ ta đặt $x=a+(b-a)si{n}^{2}t$

6. Tích phân có dạng hàm số phân thức ta thường thay biến mới bằng mẫu số.

7. Tích phân có dạng hàm số $f\left(x,\sqrt{g(x)}\right)$, ta đặt $t=\sqrt{g(x)}$.

8. Tích phân có dạng hàm số $f(x)=\frac{a.sinx+b.cosx}{c.sinx+d.cosx+e}$ ta dùng phép thế Euler : $t=tan\frac{x}{2}$.

II. Tính tích phân có dạng hàm số hữu tỉ.

Với hàm số có dạng $\frac{P(x)}{Q(x)}$ trong đó $degP<degQ$. Đa thức mẫu $Q(x)$ luôn có thể viết được dưới dạng :

$$Q(x)=(x-a_1{)}^{k_1}.(x-a_2{)}^{k_2}...(x-a_n{)}^{k_n}.(x^2+p_{1}x+q_1{)}^{l_1}...(x^2+p_{m}x+q_m{)}^{l_m}$$

Khi đó ta có biểu diễn :

$\frac{P(x)}{Q(x)}$$=\frac{A_{1.1}}{x-a_1}+\frac{A_{1.2}}{(x-a_1{)}^2}+...+\frac{A_{1.k_1}}{(x-a_1{)}^{k_1}}+\frac{A_{2.1}}{x-a_2}+...+\frac{A_{2.k_2}}{(x-a_2{)}^{k_2}}+....+\frac{A_{n.1}}{x-a_n}+...+\frac{A_{n.k_n}}{(x-a_n{)}^{k_n}}$

$$+\frac{B_{1.1}}{x^2+p_{1}x+q_1}+\frac{B_{1.2}}{(x^2+p_{1}x+q_1{)}^2}+...+\frac{B_{1.l_1}}{(x^2+p_{1}x+q_1{)}^{l_1}}+...+\frac{B_{m.l_m}}{(x^2+p_{m}x+q_m{)}^{l_m}}$$

Trong đó các hằng số $A_{i.j},B_{i.j}$ được xác định bằng cách đồng nhất hệ số.

Một số dạng đặc biệt :

1. Nếu $P(x)=Q^{\prime }(x)$ thì đưa được tích phân về dạng : $I=\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\int \frac{d(Q(x))}{Q(x)}$.

2. Nếu tích phân có dạng : $I=\int \frac{d}{a{x}^2+bx+c}$ và tam thức $a{x}^2+bx+c$ vô nghiệm.

Ta để ý : $a{x}^2+bx+c$ hoàn toàn có thể viết được dưới dạng $a(x+e{)}^2+f$. Lúc này ta áp dụng đổi biến lượng giác.

3. Nếu tích phân có dạng : $I=\int \frac{dx+e}{a{x}^2+bx+c}$. Ta có thể viết tử số dưới dạng $dx+e=p.(a{x}^2+bx+c{)}^{\prime }+q$. Sau đó áp dụng cách tính tích phân dạng trên.

4. Tích phân có dạng $I=\int \frac{1}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}$ ta đặt $t=\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}$ hoặc $t=\sqrt{-(x+a)}+\sqrt{-(x+b)}$

III. Một số hàm lượng giác :

1. Nếu tích phân có dạng $I=\int \frac{1}{dsinx+ecosx+f}dx$. Ta dùng phép thế Euler.

2. Nếu tích phân có dạng : $I=\int \frac{asinx+bcosx+c}{dsinx+ecosx+f}dx$ ta chọn các hằng số $A,B,C$ để $TS=A(MS{)}^{\prime }+B(MS)+C$.

TS : Tử số

MS : Mẫu số

Sau đó đưa về dạng sử dụng phép thế Euler.

3. Nếu tích phân có dạng $I=\int \frac{asinx+bcosx}{(csinx+dcosx{)}^n}dx$ ($n$ không quá lớn) thì ta chọn các hằng số $A,B$ :

$$asinx+bcosx=A(csinx+dcosx{)}^{\prime }+B(csinx+dcosx)$$

4. Nếu tích phân có dạng $I=\int \frac{dx}{(asinx+bcosx{)}^2}$ ta chú ý :

$$asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}cos(x-\alpha )$$

Trong đó $\alpha$ là góc thoả $sin\alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},cos\alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

IV. Một số dạng đặc biệt

1. Nếu $f(x)$ liên tục trên $\left[-a,a\right]$ thì ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_{-a}^a(f(x)+f(-x))dx$

2. Nếu $f(x)$ liên tục trên $\left[-a,a\right]$. Xét $I={\int }_{-a}^{a}f(x)dx$ thì ta có $I=2{\int }_0^{a}f(x)dx$ khi $f$ chẵn trên $\left[-a,a\right]$ và $I=0$ khi trên $f$ lẻ trên $\left[-a,a\right]$.

3. Nếu $f(x)$ là hàm chẵn và liên tục trên $\left[-a,a\right]$ thì :

$${\int }_{-a}^a\frac{f(x)}{b^x+1}={\int }_{-a}^{a}f(x)dx$$

4. Nếu tích phân có dạng $I=\int (g(x)+g^{\prime }(x))e^x$, ta sử dụng tích phân từng phần.