The limit of the sequence

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Gỉa sử $(a_{n})$ là một dãy số mà các số hạng đều lớn hơn $1$ và thoả mãn điều kiện $n \to + \infty lim \frac{1}{n} ln (ln a_{n}) < ln 2$ . Xét dãy số $(x_{n})$ xác định bởi :

$x_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}, \forall n \in N^{*}$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ hội tụ.

Lời giải :

Dễ thấy $(x_{n})$ là một dãy tăng.

Từ giả thiết ta suy ra tồn tại một giá trị $n_{0}$ nào đó mà :

$\frac{1}{n} ln (ln a_{n}) < ln 2, \forall n > n_{0} \Leftrightarrow ln a_{n} < e^{n l n 2} = 2^{n}, \forall n > n_{0} \Leftrightarrow a_{n} < e^{2^{n}}, \forall n > n_{0}$

Suy ra :

$x_{n} \leq a_{1} + a_{2} + ... + a_{n_{0}} + a_{n_{0} + 1} + ... + a_{n - 1} + a_{n}$

Chú ý là :

$a_{n_{0}} + a_{n_{0} + 1} + ... + a_{n} \leq e^{2^{n_{0}}} + e^{2^{n_{0} + 1}} + ... + e^{2^{n}} = e n - n_{0} t im es 1 + 1 + .. + 1 + 2$

Nếu ta gọi $a$ là giá trị lớn nhất trong các giá trị $a_{1}, a_{2}, ... a_{n_{0}}$ thì rõ ràng là :

$x_{n} \leq n_{0} t im es a + a + ... + a + 2 e = co n s t$

Mà dễ thấy $(x_{n})$ tăng, vậy $(x_{n})$ hội tụ. Ta có điều cần chứng minh.

Mô tả

Bài toán : Gỉa sử là một dãy số mà các số hạng đều lớn hơn và thoả mãn điều kiện . Xét dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng dãy hội tụ. Lời giải : Dễ thấy là một dãy tăng. Từ giả thiết ta suy ra tồn tại một giá trị nào đó mà : Suy […]

Dãy số - Giới hạn

Nguồn: julielltv