Polynomial

Bài toán : Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa thức $P(x)=x^n+4$ khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$ là $4\mid n$

Lời giải :

Gỉa sử $P(x)=x^n+4=A(x)B(x)$ với $A(x),B(x)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$

Ta có $A(0)B(0)=P(0)=4\Rightarrow \left|A(0)\right|\in \left\{1,2,4\right\}$

Đặt $degA(x)=k<n$ và gọi $b_1,b_2,...,b_k$ là $k$ nghiệm của $A(x)$

Thế thì :

$$A(x)=(x-b_1)(x-b_2)...(x-b_k)$$

$$\Rightarrow \left|A(0)\right|=\left|b_1{b}_2...b_k\right|\in \left\{1,2,4\right\}$$

Mặt khác ta cũng có :

$P(b_i)$$=b_i^n+4$$=0,\forall i$$=\overline{1,k}$$\Rightarrow {\left|b_i\right|}^n$$=4$$\Rightarrow {\left|b_1{b}_2...b_k\right|}^n$$=4^k$

Nếu $\left|b_1{b}_2...b_k\right|=1$ thì $4^k=1$, vô lí.

Nếu $\left|b_1{b}_2...b_k\right|=4$ thì $4^n=4^k$, mâu thuẫn với $k<n$.

Do vậy phải có $\left|b_1{b}_2...b_k\right|=2$.

Kéo theo :

$$2^n=4^k=2^{2k}\Rightarrow n=2k(1)$$

Tiếp theo ta chứng minh $k$ chẵn. Thật vậy, giả sử $k$ lẻ.

Ta có

$P(b_i)$$=b_i^n+4$$=0,\forall i$$=\overline{1,k}$$\Rightarrow b_i^n$$=-4$$\Rightarrow (b_1{b}_2...b_k{)}^n$$=(-4{)}^k$$=-4^k$

Đây là điều mâu thuẫn vì với $n$ chẵn và $k$ lẻ ta có $(b_1{b}_2...b_k{)}^n>0,-4^k<0$

Do vậy $k$ phải chẵn $(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có $4\mid n$.

Ngược lại, với $n=4t,t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ta có

$$P(x)=x^{4t}+4=(x^{2t}-2x^t+2)(x^{2t}+2x^t+2)$$ khả quy trên $$\mathbb{Z}\left[x\right]$$.

Ta có điều phải chứng minh.