Bài toán : Có tồn tại hay không một dãy số thực vô hạn $(a_n)$ sao cho các đa thức : \[P_n(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n\] có $n$ nghiệm thực phân biệt với mọi $n \geq 1$ ? Lời giải : Câu trả lời là có. Ta xây dựng dãy $(a_n)$ bằng quy nạp. Với $n=1$ thì hiển nhiên là tồn tại đa thức $P_1(x)=a_0+a_1x$ có đúng một nghiệm thực. Gỉa sử nhận định trên đúng với $n$, tức là tồn tại một dãy $(a_n)$ vô hạn mà đa thức : \[P_n(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n\] có đủ $n$ nghiệm thực phân biệt. Ta sẽ chỉ ra tồn tại số hạng $a_{n+1}$ tiếp theo của dãy số thoả mãn đa thức : \[P_{n+1}(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}\] có $n+1$ nghiệm thực phân biệt. Thật vậy, Ta chọn ra $n+2$ giá trị tuỳ ý $b_0<b_1<b_2<...<b_n<b_{n+1}$. Lúc này ta sẽ chọn hệ số $a_{n+1}$ thoả mãn : \[\left | a_{n+1} \right |\leq \underset{0\leq i\leq n+1}{\min}\left | \dfrac{P_n(b_i)}{b_i^{n+1}} \right |\] Thì đa thức $P_{n+1}$ sẽ có $n+1$ nghiệm phân biệt. Thực như vậy, với cách chọn $a_{n+1}$ như vậy thì : \[\min\left \{ \dfrac{-P_n(b_0)}{b_0^{n+1}},\dfrac{-P_n(b_1)}{b_1^{n+1}} \right \}\leq a_{n+1}\leq \max\left \{ \dfrac{-P_n(b_0)}{b_0^{n+1}},\dfrac{-P_n(b_1)}{b_1^{n+1}} \right \}\] Suy ra rằng : \[\left ( P_n(b_0)+a_{n+1}b_0^{n+1} \right )\left ( P_n(b_1)+a_{n+1}b_1^{n+1} \right )\leq 0\Leftrightarrow P_{n+1}(b_0)P_{n+1}(b_1)\leq 0\] Hoàn toàn tương tự : \[P_{n+1}(b_1)P_{n+1}(b_2)\leq 0\] \[...\] \[P_{n+1}(b_{n})P_{n+1}(b_{n+1})\leq 0\] Tức là trên $n+1$ khoảng $(b_0,b_1),(b_1,b_2),...,(b_{n},b_{n+1})$ , đa thức $P_{n+1}(x)$ sẽ có $n+1$ nghiệm phân biệt. Quy nạp hoàn tất. Và câu trả lời cho bài toán là “có”.

Polynomial

Bài toán : Có tồn tại hay không một dãy số thực vô hạn $(a_{n})$ sao cho các đa thức :

$P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}$

có $n$ nghiệm thực phân biệt với mọi $n \geq 1$ ?

Lời giải :

Câu trả lời là có. Ta xây dựng dãy $(a_{n})$ bằng quy nạp.

Với $n = 1$ thì hiển nhiên là tồn tại đa thức $P_{1} (x) = a_{0} + a_{1} x$ có đúng một nghiệm thực.

Gỉa sử nhận định trên đúng với $n$ , tức là tồn tại một dãy $(a_{n})$ vô hạn mà đa thức :

$P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}$

có đủ $n$ nghiệm thực phân biệt. Ta sẽ chỉ ra tồn tại số hạng $a_{n + 1}$ tiếp theo của dãy số thoả mãn đa thức :

$P_{n + 1} (x) = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n} + a_{n + 1} x^{n + 1}$

có $n + 1$ nghiệm thực phân biệt.

Thật vậy,

Ta chọn ra $n + 2$ giá trị tuỳ ý $b_{0} < b_{1} < b_{2} < ... < b_{n} < b_{n + 1}$ .

Lúc này ta sẽ chọn hệ số $a_{n + 1}$ thoả mãn :

$∣ a_{n + 1} ∣ \leq 0 \leq i \leq n + 1 min \frac{P _{n} ( b _{i} )}{b _{i}^{n + 1}}$

Thì đa thức $P_{n + 1}$ sẽ có $n + 1$ nghiệm phân biệt.

Thực như vậy, với cách chọn $a_{n + 1}$ như vậy thì :

$min {\frac{- P _{n} ( b _{0} )}{b _{0}^{n + 1}}, \frac{- P _{n} ( b _{1} )}{b _{1}^{n + 1}}} \leq a_{n + 1} \leq max {\frac{- P _{n} ( b _{0} )}{b _{0}^{n + 1}}, \frac{- P _{n} ( b _{1} )}{b _{1}^{n + 1}}}$

Suy ra rằng :

$(P_{n} (b_{0}) + a_{n + 1} b_{0}^{n + 1}) (P_{n} (b_{1}) + a_{n + 1} b_{1}^{n + 1}) \leq 0 \Leftrightarrow P_{n + 1} (b_{0}) P_{n + 1} (b_{1}) \leq 0$

Hoàn toàn tương tự :

$P_{n + 1} (b_{1}) P_{n + 1} (b_{2}) \leq 0$

$...$

$P_{n + 1} (b_{n}) P_{n + 1} (b_{n + 1}) \leq 0$

Tức là trên $n + 1$ khoảng $(b_{0}, b_{1}), (b_{1}, b_{2}), ..., (b_{n}, b_{n + 1})$ , đa thức $P_{n + 1} (x)$ sẽ có $n + 1$ nghiệm phân biệt.

Quy nạp hoàn tất.

Và câu trả lời cho bài toán là “có”.

Polynomial

Đề bài

Mô tả