Phương trình hàm trên tập rời rạc

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ HỮU TỈ, SỐ NGUYÊN, SỐ TỰ NHIÊN

Bài 1 : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(2)=2\\ f(mn)=f(m)f(n),\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\\ f(m)<f(n),\forall m<n\end{array}$$

Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\forall x,y\in \mathbb{Q}$$

Bài 3 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(4)=4\\ f(2m)=2f(m),\forall m\equiv 1(mod2)\\ f(m)<f(n),\forall m<n\end{array}$$

Bài 4 : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to {\mathbb{Z}}^{+}$ sao cho với mọi $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ta có :

$$i)f(n+1)\ge f(n)$$

$$ii)f(f(n))=n+2012$$

Bài 5 : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho 

$$f(m+f(n))=n+f(m+1),\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Bài 6 Tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))=f(x)-y,\forall x,y\in \mathbb{Q}(\ast )$$

Bài 7 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$$f(m+f(n))=f(m+n)+2n+2,\forall m,n\in \mathbb{N}(1)$$

Bài 8 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x+y)+f(x-y))=2x,\forall x,y\in \mathbb{Q}$$

Bài 9 Cho trước số nguyên dương $k$. Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$i)f(n+1)>f(n)\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

$ii)f(f(...f(n)...))=n+k,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$  ($k$ lần hàm số $f$)

Bài 10 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$f(1)+2f(2)+3f(3)+...+nf(n)$$=\frac{n(n+1)}{2}f(n+1)-\frac{1}{6}{n}^3-\frac{1}{2}{n}^2-\frac{1}{3}n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }(1)$

Bài 11 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$f^3(1)+f^3(2)+...+f^3(n)={\left(f(1)+f(2)+...+f(n)\right)}^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }(1)$$

Bài 12 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

 $$f(f(n))+f^2(n)=n^2+3n+3,\forall n\in \mathbb{N}(1)$$

Bài 13 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$$f(f(n))+f(n)=2n+3,\forall n\in \mathbb{N}(1)$$

Bài 14 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$f(n+f(n))=f(n),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }(1)$$

cho biết tồn tại $n_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $f(x_0)=1$

Bài 15 Tìm tất cả các hàm số$f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$2f^3(m^2+n^2)=f^2(m)f(n)+f(m)f^2(n)$$

Bài 16 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2),\forall x,y\in \mathbb{N}$$

Bài 17 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$$f(f(n))=n+1987,\forall n\in \mathbb{N}$$

Bài 18 Tìm hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$f(f(f(n)))+f(f(n))+f(n)=3n,\forall n\in \in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Bài 19 Tìm hàm $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f(1)=2$ và :

$$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1,\forall x,y\in \mathbb{Q}(1)$$

Bài 20 Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ và thỏa mãn các điều kiện sau :

$$\{\begin{array}{c}f(1)=1\\ f(n+3)\le f(n)+3\\ f(n+2012)\ge f(n)+2012\end{array}\forall n\in \mathbb{Z}$$

Tính giá trị $f(2013)$

Bài 21 Tìm hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và :

$$f(m+n)+f(m-n)=\frac{1}{2}\left[f(2m)+f(2n)\right],\forall m,n\in \mathbb{N}(1)$$

Bài 22 Tìm hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(mn)=f(m)+f(n)\\ f(n)=0,\forall n\equiv 3(mod10)\\ f(10)=0\end{array}$$

Bài 23 Cho hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333\\ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{hay}1\end{array}$$

Tính $f(1982)$.

Bài 24 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(x+1)=f(x)+1(1)\\ f(x^2)=f^2(x)(2)\end{array},\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$$

Bài 25 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(x+1)=f(x)+1(1)\\ f(x^3)=f^3(x)(2)\end{array},\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$$

Bài 26 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(x+1)=f(x)+1\\ f(x^4)=f^4(x)\end{array},\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$$

Bài 27 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$f(f(n-1))=f(n+1)-f(n),\forall n\ge 2$$

Bài 28 Tìm hàm số $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$f\left(x+\frac{y}{x}\right)=f(x)+\frac{f(y)}{f(x)}+2y,\forall x,y\in {\mathbb{Q}}^{+}(1)$$

Bài 29 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left(\frac{x+y}{3}\right)$$=\frac{f(x)+f(y)}{2},\forall x,y\in \mathbb{Z},3\mid x+y(1)$

Bài 30 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ và thỏa mãn

 $$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2,\forall m,n\in \mathbb{Z}(1)$$

Bài 31 Tìm hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(1)=\frac{5}{2}\\ f(m)f(n)=f(m+n)+f(m-n),\forall m,n\in \mathbb{Z}(1)\end{array}$$

 Bài 32 Tìm hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ và thỏa mãn :

$$3f(n)-2f(f(n))=n,\forall n\in \mathbb{Z}$$

Bài 33 Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :

$$\{\begin{array}{c}f(1)=1\\ 2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),\forall k,n\in \mathbb{N},k\ge n(1)\end{array}$$