Number Theory

Bài toán : Cho các số nguyên dương $a,b$ thoả mãn $2a-1,2b-1,a+b$ đều là các số nguyên tố. Chứng minh rằng $a^a+b^b$ và $a^b+b^a$ đều không chia hết cho $a+b$.

Lời giải :

Gỉa sử rằng $a+b\mid a^b+b^a(1)$. Ta sẽ chỉ ra điều mâu thuẫn.

Nếu $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì phải có $a+b=2$, suy ra $a=b=1$. Mâu thuẫn vì $2a-1,2b-1$ phải nguyên tố.

Như vậy thì $a,b$ khác tính chẵn lẻ. Không giảm tổng quát có thể giả sử $a$ chẵn và $b$ lẻ.

Khi đó ta sẽ có :

$$a+b\mid a^b+b^b$$

Kết hợp với $(1)$ :

$$a+b\mid b^a-b^b(2)$$

• Xét trường hợp $a\ge b$ thì từ $(2)$ có $a+b\mid b^b$ hoặc $a+b\mid b^{a-b}-1$.

Dễ dàng chứng minh được rằng $\gcd (a,b)=1$ nên phải có $a+b\nmid b^b$. Như vậy chỉ có thể là $a+b\mid b^{a-b}-1(3)$.

Hơn nữa vì $a+b$ nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ :

$$a+b\mid b^{a+b-1}-1(4)$$

Từ đó lại kéo theo :

$$a+b\mid (b^{a+b-1}-1)-(b^{a-b}-1)=b^{a-b}\left(b^{2b-1}-1\right)\Rightarrow a+b\mid b^{2b-1}-1$$

Từ đây sẽ có :

$$or{d}_{a+b}(b)\mid 2b-1$$

Mà $2b-1$ nguyên tố nên $or{d}_{a+b}(b)\in \left\{1,2b-1\right\}$. Nếu $or{d}_{a+b}(b)=1$ thì $a+b\mid b-1$. Mâu thuẫn vì $0<b-1<a+b$. Như vậy thì $or{d}_{a+b}(b)=2b-1$.

Chú ý vào $(3)$ và $(4)$ :

$$2b-1\mid a-b,2b-1\mid a+b-1\Rightarrow 2b-1\mid 2a-1$$

Vì $2a-1,2b-1$ đều nguyên tố nên phải có $2b-1=2a-1$, điều này mâu thuẫn.

• Trường hợp $a<b$ hoàn toàn tương tự.

Như vậy ta đã chứng minh được $a+b\nmid a^b+b^a$.

Việc chứng minh $a+b\nmid a^a+b^b$ có vẻ cũng tương tự.