Number Theory 9

(Austrian-Polish 1998)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^{x+y}=y^{y-x}$ $(1)$
                                                               Lời Giải
Gọi $\gcd (x,y)=c$. Đặt $a=\frac{x}{c};b=\frac{y}{c}(a,b,c\in {\mathbb{Z}}^{+};\gcd (a,b)=1)$
Ta có: $(1)\iff (ac{)}^{ac+bc}=(bc{)}^{bc-ac}$
$\iff a^{c(a+b)}.c^{c(a+b)}=b^{c(b-a)}.c^{c(b-a)}$
$\iff a^{a+b}.c^{2a}=b^{b-a}(2)$
$\Rightarrow a^{a+b}\mid b^{b-a}$ mà $\gcd (a,b)=1\Rightarrow a=1$
Do đó: $(2)\iff c^2=b^{b-1}\Rightarrow b$ là số lẻ hoặc số chính phương.
Xét các trường hợp:
+, Nếu $b=2n+1(n\in {\mathbb{Z}}^{+})\Rightarrow c^2=(2n+1{)}^{2n}\iff c=(2n+1{)}^n$
$\Rightarrow$ • $x=ac=(2n+1{)}^n$
• $y=bc=(2n+1{)}^{n+1}$
+, Nếu $b=n^2(n\in {\mathbb{Z}}^{+})\Rightarrow c^2=n^{2(n^2-1)}\iff c=n^{n^2-1}$
$\Rightarrow$ • $x=ac=n^{n^2-1}$
• $y=bc=n^2.n^{n^2-1}=n^{n^2+1}$
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là:
$(x,y)=((2n+1{)}^n;(2n+1{)}^{n+1});(n^{n^2-1};n^{n^2+1})$ $■$